Trouver une inégalité

[Mike_51]

Bonjour,
On a h>0, f solution de y''(t)+exp(it)*y(t)=0
établir une majoration du module des 2 nombres :
C=f(t+h)-f(t)-h*f'(t)
D=f(t-h)-f(t)+h*f'(t) en fonction de ||f||oo (norme infinie de f).
Cela se fait facilement en utilisant une formule de taylor.
Puis on me demande en déduire que ||f'||oo <= racine(2) ||f||oo.
Merci

[abel]

déjà on a supposé que f est majorée : donc f'' aussi avc f''(x)=-exp(it)*f(x) donc ||f''||<=||f|| (car |-exp(-it)|<=1)
donc on a par taylor : f(t+h)-f(t)-h*f'(t)-h²/2*f''(t)=0
puis en majorant f'' par ||f|| on obtient :
f(t+h)=f(t)+ h*f'(t) + h²/2*e(h) avec e(h)<=||f''||<=||f|| (dans notre cas)
de meme avc -h :
f(t-h)=f(t) - h*f'(t) + h²/2*e(-h) avc les meme majorations
puis on soustrait les 2 egalités :
f(t+h) - f(t-h) = 2h*f'(t)+h²/2*(e(h)-e(-h))
puis il reste à isoler f'(t) de prendre sa valeur absolue, de majorer |f(t+h)-f(t-h)| par 2*||f|| et de majorer |(e(h)-e(-h))| par 2*||f||, ensuite on obtient une inégalité :

|f'(x)|<=||f||/h + h/2*||f||, apres il suffit de trouver le maximum de ||f||/h + h/2*||f|| qui vaut racine(2)*||f||
Verifie les calculs mais je pense que c'est la méthode.

[Mike_51]

Le doute que j'ai c'est que l'on a bien
. |f(t+h)-f(t)-hf'(t)|<=||f||*h²/2
. |f(t-h)-f(t)+hf'(t)|<=||f||*h²/2
Mais il faut ensuite se débrouiller pour ne plus être embetté par les valeurs absolues.

[abel]

En fait je me suis pas servi de la premiere question (enfin j'ai utilisé Taylor c'est tout), tu écris f(t+h) et f(t-h) avc un developpement de taylor-lagrange sauf que la partie intégrale tu l'appelles h²/2*e(h) (sachant que e(h) est majorée ||f|| car elle s'ecrit comme un f''(c) mais il faut pas s'en servir de suite). Apres c'est que du bidouillage d'égalité, par contre vérifie si on tombe bien sur racine(2)*||f|| comme max, au pire le max est surement >= racine(2)*||f|| donc l'inegalité restera prouvée.
J'ai mis les valeurs absolues qu'à la fin, c'est bcp moins contraignant je trouve.