DL d'une fonction et son utilité pour trouver une autre expression

[marine590]

Bonjour!
Je n'arrive pas à faire cette question:
p un entier naturel. On a gp(t) = (exp(t) -1)^p. On a le DL de (exp(t) - 1) en 0 à l'ordre 3 et on veut trouver l'expression des réels Dp, Ep, Fp tel que gp(t) = Dp x t^p + Ep x t^(p+1) + Fp x t^(p+2) + t^(p+2) x epsilon (t), avec epsilon (t) tend vers 0 qd t tend vers 0.

Faut-il remplacer gp(t) par son DL et étudier la puissance n? Identifier? Je n'arrive à ren de concluant.;.
Merci de votre aide!

[XENSECP]

Hello,

Tu dois bien utiliser le DL en 0 à l'ordre 3 que tu connais et ensuite passer à la puissance. Et le truc c'est que beaucoup de termes sont à ignorer (à mettre dans le "epsilon(t)") donc en fait il te reste après calcul les 3 termes intéressants et d'après mes calculs rapides c'est genre :

[marine590]

je ne trouve pas les mêmes... il faut bien faire avec la formule du DL de (1+u)^n = 1 + n*u +
n(n-1) * u²/2 ?

[marine590]

Je trouve 1 pour le premier, p/2 pour le 2ème, et p/6 + p(p-1)/8 pour le 3ème... ?

[XENSECP]

Tu cherches à développer quoi concrètement ?

[marine590]

J'ai fait (expt(t) - 1)^p = (t + t²/2 + t^3/6 + t^3*eps(t))^p
= t^p * (1 + t/2 + t²/6 + t²*eps(t))^p. On a (1+u)^p avec u = t/2 + t²/6 + t²*eps(t) qui tend vers 0 quant t tend vers 0 donc on peut utiliser la formule du DL de (1+u)^p ?
= t^p [1 + p*u + p(p-1)*u²/2 + ...]
Je ne sais pas si c'est la réponse à ta question...?
J'avais pensé utiliser le binôme de Newton mais je ne m'en suis pas sorti.

[XENSECP]

En reprenant mes calculs je suis d'accord avec toi.

[marine590]

En reprenant mes calculs je suis d'accord avec toi.

D'accord, merci beaucoup!