Trouver la réciproque d'une fonction

par **Mag** » 13 Sep 2008, 10:09

salut, j'aurais besoin d'aide pour trouver la réciproque d'une fonction.

f(x)=x/(1+valeur absolue de x)

le prob c'est que j'ai pas compris comment on trouve la réciproque d'une fonction.
est ce que quelqu'un peu m'aider?

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 10:13

Il faut résoudre en x l'équation f(x)=y où y est un paramètre.

Dans ton cas, pour simplifier la valeur aboslue, il vaut mieux résoudre d'abord pour

, puis pour

par **Mag** » 13 Sep 2008, 10:23

ok mais cela revient à démontrer qu'elle est surjective non?

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 10:41

Mag a écrit:ok mais cela revient à démontrer qu'elle est surjective non?

oui, s'il y a des solutions .

Et s'il a au maximum une solution, cela montre qu'elle est injective !

Mais si tu veux la fonction réciproque, c'est que la fonction est bijective (injective et surjective), non ? En résolvant cette équation, tu prouveras d'un seul coup que la fonction est bijective et tu trouveras sa fonction réciproque : tout bénef ! :id:

par **Mag** » 13 Sep 2008, 10:46

effectivement j'ai déjà montrée que la fonction est bijective et seule une telle fonction peut avoir une réciproque.

Donc si j'ai démontrée qu'elle est injective et surjective, j'ai aussi trouvée la réciproque par la même occasion?

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 11:04

Mag a écrit:Donc si j'ai démontrée qu'elle est injective et surjective, j'ai aussi trouvée la réciproque par la même occasion?

Tout dépend de la méthode employée ! Il y a des méthodes abstraite qui justifient que la fonction est bijective sans donner explicitement la réciproque.

Au fait, comment as-tu démontré que la fonction est surjective ?

par **Mag** » 13 Sep 2008, 11:35

et bien pour montrer que la fonction est surjective, sachant que f(x) doit appartenir à ]-1;1[, j'essaye de démontrer que x/(1+ valeur absolue de x)<1 puis plus grand que -1 pour x positif et x négatif
mais je n'y suis pas encore arrivée lol

j'espère que t'as compris

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 11:46

Un tableau de variation permet de prouver qu'une fonction est (ou n'est pas) injective, surjective, bijective, mais ne donnera jamais la fonction réciproque d'une fonction bijective.

Bref, ici, comme les calculs sont simples, résoudre en x l'équation f(x)=y permet de tout faire d'un coup : c'est <> plus efficace !

par **Mag** » 13 Sep 2008, 11:50

ok merci pour ton aide leon 1789
c'est ce que je vais faire, en espérant ne plus bloquer, lol

par **Mag** » 13 Sep 2008, 12:04

si je t'ai bien suivi, je trouve deux antécédents possibles un pour x<0 et l'autre pour x>0.
Mais les deux solutions corespondent elles à une fonction réciproque?

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 12:51

Ecris nous ce que tu fais stp (sans les détails de calcul à la rigueur).

par **Mag** » 13 Sep 2008, 13:23

j'ai résolu f(x)=y, pour x<0 et x>0 et je trouve donc deux solutions: x=y/1-y et x=y/1+y

dc comme il ya deux solution on a bien une surjection

comme j'ai déjà montré l'injection, je sais que la fonction est bijective

maintenant je cherche sa réciproque. Je dois utiliser f(x)=y d'après ce que tu m'a di mais quelle solution de cette équation?

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 15:35

Précisément
x=y/(1-y) quand

x=y/(1+y) quand

Mag a écrit:dc comme il ya deux solution on a bien une surjection

non, il n'y a pas 2 solutions (sinon la fonction ne serait pas injective par exemple !).

Pour

, tu prends

Pour

, tu prends

Autrement dit, pour y quelconque

Au fait, la fonction est une bijection de quoi sur quoi ?

par **Mag** » 13 Sep 2008, 16:58

la fonction est bijective de R à ]-1;1[

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 17:34

Mag a écrit:la fonction est bijective de R à ]-1;1[

ok, j'avais peur d'une erreur.

Alors tu es d'accord avec la solution que je te propose ?

par **Mag** » 13 Sep 2008, 17:55

oui oui je suis ok j'avais effectivemen toubliée de prendre en compte que -y et +y pouvaient s'arranger en prenant la valeur absolue.

En tout cas merci pour ton aide

Je vais essayer de faire le reste de mon DM mais si je n'y arrive pas tant pis, au moins j'aurais compris cet exo.
je te ferais savoir si c'est juste (ce dont je ne doute pas) quand on aurra corrigé

Encore merci pour ton aid eprécieuse

par **leon1789** » 13 Sep 2008, 17:56

Mag a écrit:je te ferais savoir si c'est juste (ce dont je ne doute pas) quand on aurra corrigé

ok, pourquoi pas :zen:

par **Mag** » 13 Sep 2008, 17:58

ok ça marche

par **Mag** » 17 Sep 2008, 13:44

boujour à tous

bon voilà je fais suite à ce message pour remercier léon1789 de m'avoir autant aidé de weekend, sachant que tout ce qu'il m'avait suggéré était correct.

Donc Merci beaucoup

Trouver la réciproque d'une fonction

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Remerciement

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