Triangle équilatérale

[Archytas]

Bonsoir, je voudrais montrer que l'aire maximale d'un triangle contenu dans un cercle est lorsque qu'il est équilatérale. J'ai essayé avec le déterminant, le produit vectoriel mais quand on dérive ça fait des fonctions encore plus compliquées et on retombe sur nos pattes :hum: . Des idées de départ moins coriaces ?

[cuati]

Bonsoir, je voudrais montrer que l'aire maximale d'un triangle contenu dans un cercle est lorsque qu'il est équilatérale. J'ai essayé avec le déterminant, le produit vectoriel mais quand on dérive ça fait des fonctions encore plus compliquées et on retombe sur nos pattes :hum: . Des idées de départ moins coriaces ?

Bonsoir,
je te propose une démonstration géométrique :
Considère un triangle ABC inscrit dans un cercle et suppose que ABC n'est pas équilatéral, par exemple . On pose ensuite D le point d'intersection du cercle et de la médiatrice de [BC] , situé du même côté que A. En notant A' et D' les projetés orthogonaux de A et D sur (BC) on a AA'<DD' (faire un dessin) et donc le triangle DBC a une aire strictement supérieure à celle du triangle ABC (même base mais hauteur plus petite).

[hammana]

Bonsoir,
je te propose une démonstration géométrique :
Considère un triangle ABC inscrit dans un cercle et suppose que ABC n'est pas équilatéral, par exemple . On pose ensuite D le point d'intersection du cercle et de la médiatrice de [BC] , situé du même côté que A. En notant A' et D' les projetés orthogonaux de A et D sur (BC) on a AA'<DD' (faire un dessin) et donc le triangle DBC a une aire strictement supérieure à celle du triangle ABC (même base mais hauteur plus petite).

Les démonstrations géométriques sont toujours les plus élégantes. Pour une démonstration algébrique on peut aussi procéder comme suit:

Soint un triangle ABC inscrit dans un cercle de centre O de rayon unité. Appelons x, y, z les angles AOB, BOC, COA avec x+y+z=pi

Les triangles AOB, BOC, COA ont pour surface sin(x/2)cos(x/2), sin(y/2)cos (y/2), sin(z/2)cos(z/2)
On est amené a chercher le maximum de f(x,y)=sin(x)+sin(y)+sin(x+y).
En écrivant que les dérivées partielles de f(x,y) sont nulles on obtient
cos(x)+cos(x+y)=0, cos(y)+cos(x+y)=0 donc x=y, et cos(x)+cos(2x)=0, dont la solution est x=pi/3

[Archytas]

Je vous remercie (: ! Je vais voir ça, je ne pourrais pas faire la méthode des dérivées partielles, ma prof n'apprécierait pas comme on les a pas encore vu, merci encore, bonne soirée !

[Archytas]

Bonsoir,
je te propose une démonstration géométrique :
Considère un triangle ABC inscrit dans un cercle et suppose que ABC n'est pas équilatéral, par exemple . On pose ensuite D le point d'intersection du cercle et de la médiatrice de [BC] , situé du même côté que A. En notant A' et D' les projetés orthogonaux de A et D sur (BC) on a AA'<DD' (faire un dessin) et donc le triangle DBC a une aire strictement supérieure à celle du triangle ABC (même base mais hauteur plus petite).

Excuse moi mais, cela prouve seulement que pour une longueur fixé [BC] le triangle ABC à une aire maximale lorsque le triangle est isocèle en D=A. Mais ça ne dit rien sur l'équilatéralité... peut être en reussissant à prouver que l'aire est maximale lorsque AB+BC+CA est maximal et que AB+BC+CA est maximal pour un triangle équilatéral !?

[cuati]

Excuse moi mais, cela prouve seulement que pour une longueur fixé [BC] le triangle ABC à une aire maximale lorsque le triangle est isocèle en D=A. Mais ça ne dit rien sur l'équilatéralité... peut être en reussissant à prouver que l'aire est maximale lorsque AB+BC+CA est maximal et que AB+BC+CA est maximal pour un triangle équilatéral !?

va jusqu'au bout du raisonnement, l'aire est maximale lorsque le triangle est isocèle en A, ensuite fixe un autre côté, tu en déduiras que l'aire maximale lorsque le triangle est isocèle en B, idem en C...
Bref, un triangle équilatéral c'est un triangle qui est isocèle en chacun de ses sommets...

[cuati]

Excuse moi mais, cela prouve seulement que pour une longueur fixé [BC] le triangle ABC à une aire maximale lorsque le triangle est isocèle en D=A. Mais ça ne dit rien sur l'équilatéralité... peut être en reussissant à prouver que l'aire est maximale lorsque AB+BC+CA est maximal et que AB+BC+CA est maximal pour un triangle équilatéral !?

Tu n'as pas bien compris le raisonnement :
on suppose qu'un triangle ABC qui convient (d'aire maximale - il en existe par continuité de la fonction qui donne l'aire sur le compact cercle) n'est pas équilatéral, par exemple AB différent de AC. On démontre alors qu'il existe un autre triangle d'aire strictement supérieure, ce qui est absurde ! Le triangle est donc équilatéral...

[hammana]

Je vous remercie (: ! Je vais voir ça, je ne pourrais pas faire la méthode des dérivées partielles, ma prof n'apprécierait pas comme on les a pas encore vu, merci encore, bonne soirée !

Pas besoin de parler de dérivées partielles. Il faut chercher le maximum d'une fonction de x et y. Il faut annuler la dérivée par rapport à x et la dérivée par rapport à y.

[Archytas]

Tu n'as pas bien compris le raisonnement :
on suppose qu'un triangle ABC qui convient (d'aire maximale - il en existe par continuité de la fonction qui donne l'aire sur le compact cercle) n'est pas équilatéral, par exemple AB différent de AC. On démontre alors qu'il existe un autre triangle d'aire strictement supérieure, ce qui est absurde ! Le triangle est donc équilatéral...

Hm oui je dois avoir manqué quelque chose, en tout cas en dérivant de ton raisonnement j'ai réussis à le démontrer de manière rigoureuse et que mon cerveau parvient à comprendre : On remplace alors D par A et on prend la médiatrice [AC] on remplace l'intersection (mettons D') par le point le plus proche. En répétant l'opération une infinité de fois le triangle tend vers l'équilatéralité ! Je te remercie.
Cependant pour faire une démonstration par l'absurde comme tu as fais ne faudrait-il pas qu'il n'y ait que deux possibilités quant à la nature du triangle ? Car ici, il y a "l'isocelisme" en plus ce qui fausse le résultat :/. Bref j'ai loupé un truc mais c'est démontré c'est le principal (= !