Transformation linéaire

[MacErmite]

Bonjour,

Est-ce suffisant de dire que n'est pas une transformation linéaire car f(u+v) et différent de f(u)+f(v) ? tout comme les fonctions sin(x) et cos(x) ?
Avec un raisonement similaire en est une.


Merci

[Ben314]

Bonjour,
Est-ce suffisant de dire que n'est pas une transformation linéaire car f(u+v) et différent de f(u)+f(v) ? tout comme les fonctions sin(x) et cos(x) ?
Avec un raisonement similaire en est une.
Merci

Oui, c'est suffisant.
On peut aussi dire que les applications linéaires de R dans R sont toutes de la forme x->ax pour une constante a donnée et que "clairement" ta fonction f, la fonction sin et la fonction cos ne sont pas de cette forme.
Par contre g est bien de cette forme avec a=2+\sqrt{2} donc elle est linéaire.

[MacErmite]

Par contre avec (x,y) dans R2 |-> (x+y,x-y) dans R2, je n'arrive même pas à comprendre cette fonction... :briques:

[Ben314]

A la rigueur, tu peut voir "géométriquement" cette fonction : c'est celle qui au point [ou au vecteur] de coordonnées (x,y) associe le point [ou le vecteur] (x,y).
Mais cela n'aide pas vraiment à voir si elle est linéaire ou pas.
Pour cela, (comme dans R) deux méthodes :

1) Avec la définition : on doit montrer que f(aX+bY)=af(X)+bf(Y) pour tout a,b dans R et tout vecteurs X, Y de l'espace.
Ici, l'espace est R² donc tu prend par exemple X=(x,x') ; Y=(y,y') et tu as aX+bY=(ax+by,ax'+by') il te faut alors montrer que f(ax+by,ax'+by')=af(x,x')+bf(y,y') ce qui est assez simple.

2) Avec de la "culture" : les applications linéaires de R² dans R² sont celles de la forme (x,y)->(ax+by,cx+dy) où a,b,c,d sont des constantes. Ici, ta fonction est bien de cette forme donc elle est linéaire.

P.S. Si tu veut voir ta fonction "géométriquement", en fait c'est la composée d'une homothétie de centre O:(0,0) et de rapport sqrt{2} avec la rotation de centre O et d'angle +pi/4 (ca s'appelle une similitude).
Sauf que c'est un peu "hors sujet" si la question est seulement de montrer qu'elle est linéaire !!!

[MacErmite]

Merci pour tout, je viens de trouver une "fiche" de synthèse transformation linéaire

[MacErmite]

Ton P.S. est une bonne transition sur la question suivante. Si h décrit une roation (dans C) de centre a et d'angle que signifie :marteau: ?

[Ben314]

Réfléchi un peu...
Si tu vient de tourner d'un angle théta, quel mouvement permet de revenir à la position initiale ? (c'est ça la notion de bijection réciproque : "revenir à la position initiale")

[MacErmite]

J'imaginais quelque chose de plus compliqué. Donc h^{-1} est une rotation de centre et d'angle

[MacErmite]

J'imaginais quelque chose de plus compliqué. Donc est une rotation de centre et d'angle , tiens c'est curieux, latex bug lolol je voulais dire -

si j'écris le signe - dans l'encadré de 'Tex' cela donne ceci à la place de ceci -

[Ben314]

Si tu veut faire des essais "bizares", met le signe moins "-" juste derrière une balise ouvrante [tex] et bien... ça bug grave et... pas toujours pareil !!! (et personne ne m'a encore dit pourquoi : ça doit être prévu pour un truc particulier...)
Une soluce (bien con !!) : ajouter un espace entre la balise et le signe -...

J'ai aussi des fois des problème en plein milieu des formules... je rajoute des espaces et, en général, ça se met à marcher :doh:

P.S. pour ta rotation, c'est effectivement la rotation d'angle -theta et de même centre qui est la bijection réciproque.