Transformation de Fourier du Ln(x)

[grenouille]

Bonjour, qn peut me dire quoi donne la transformation de Fourier du Ln(x)=logarithme naturel.

merci beaucoup

[serge75]

Ca parait difficile d'en trouver la trasformée de Fourier vu qu'elle est pas définie sur R. Et même en la prolongeant par la fonction nulle, elle n'est ni dans L2 ni dans L1... Bref, j'ai bien peur que ln n'ait pas de transformée de Fourier.

[serge75]

Oups, je viens de relire ta question où tu ne demandais pas la transf de ln mais la fonction dont il est la transformée. La réponse reste la même car une transformée de Fourier est bornée ce qui n'est pas le cas de ln.

[grenouille]

Et si on determine notre Ln sur l'interval (a,b) ou a et b positif, et hors on dit que c'est 0. Quoi donne la transformation de fourier de cette function?

merci

[serge75]

A priori, tu ne peux pas la déterminer à l'aide des fonctions usuelles, mais c'est ici une histoire de conventions sur ce qu'on appelle fonction usuelle.
Pour simplifier, je ne mets pas la constante en racine(2Pi) devant l'intégrale :
Tu es alors amené à calculer :
On fait une IPP et on obtient :
.
Je laisse de côté la partie entre crochet pour reprendre l'intégrale restante ; on fait le changement de variable u=tx, et on obtient :

De là, je donne un nom, par exemple E à la primitive s'annulant en 1 de la fonction qui à u associe . E ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles, sauf à décider que c'est une nouvelle fonction usuelle, mais on peut donc exprimer l'intégrale finale à l'aide de E sous la forme :

PS : la fonction que j'ai appelée ici E a sûrement un nom dans la littérature mathématique, mais je l'ignore.
Serge