Transformation de Fourier : explication des termes ?

[LarryJ]

Bonjour à tous,

J'apprends les séries de Fourier et les transformées en autodidacte.

Sur tous les wiki ou papiers expliquant la transformée rapide de Fourier, il ressort l'équation suivante :
https://upload.wikimedia.org/math/5/e/3/5e37c3d2a5e3d5a433f3eba4e4abed34.png

extrait de la page :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_de_Fourier_rapide

Maintenant, j'ai un problème avec les termes :

k est un réel et a priori un réel positif. Ok.

Mais

x, je ne comprends pas ce qu'il représente réellement ainsi que i.

Ce i, je le vois partout, déjà inclus dans des équations mais jamais expliqué.

Et comment évolue j en fonction de k ? Car il mettent que j évolue de 0 vers n, mais on fait aussi la somme des k de 0 vers n-1.

Quelle est la différence entre ces deux termes ?

J'ai aussi étudié la transformée de fourier discrète, et même problème.

Existe-t'il une âme charitable pour me mettre sur la voie ?

Merci à vous,

A bientôt,

[Sylviel]

Le i que tu vois c'est le nombre complexe i (racine complexe de -1).

e^(ix) vaut par définition cos(x)+i*sin(x).

j c'est l'indice de ta suite f_j. Ainsi pour calculer f_2 tu dois faire une somme d'exponentielles complexes pour k allant de 0 à n-1 et j = 2.

[LarryJ]

Ok !

Cela est tout de suite plus clair.
Le nombre complexe (nouveau terme pour moi) i est initialement équivalent à -1, selon la source :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe#Classe_d.27.C3.A9quivalence_de_polyn.C3.B4mes

il est égal à 1 ou -1 selon la valeur de l'exposant.

Donc pour calculer un point de fourier, on ajoute tous les k et on ajuste avec la valuer de j voulue.

En fait, la somme initiale est toujours la même et seul j bouge.

J'ai bien saisi le truc ?

Merci beaucoup

[Sylviel]

Si le nombre complexe i est nouveau pour toi il faut que tu prennes un peu de temps pour comprendre...

Fondamentalement ce qu'il faut retenir c'est que i²=-1.
Les nombres complexes s'écrivent sous la forme A+iB où A et B sont des réels.

Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire. A ta plce je prendrais trois nombre a,b et c et j'en expliciterais la transformée de fourier discrète :
f0 = ... + ... + ...
f1 = ... + ... + ...
f2 = ... + ... + ...

[LarryJ]

Oui, à la pratique ça se complique..

Si j'ai par exemple une série de nombre k [5,8,6,9] dont la somme équivaut à 28.
alors, j'ai :

fourier rapide avec i = 1:
f0 = 28 x e((-2 * pi * i ) * 0*28)

J'obtiens 28.

Maintenant pour
f(1) = 28 x e((-2 * pi * i ) * 1*28)
f(1) = 0.05

f(2) = 28 x e((-2 * pi * i ) * 2*28)
f(2) = 0

Quelqu'un pourrait me dire si j'ai juste ?

Merci

[LarryJ]

j'ai compris de travers, c'est ça ? :)

[Sylviel]

Ben regarde bien la formule :
d'abord tu prends j=0 (et non pas i, qui lui vaut i et pas un autre nombre)
ensuite n c'est le nombre de point que tu as pris (ici 4) donc tu as 4 termes dans ta somme où il suffit de remplacer par la défintion, et aprs seulement tu fais la somme...

[LarryJ]

Mais, dans la formule, le i y est lui, je ne peux pas le retirer !

[Sylviel]

Oui il faut laisser le i.
Et relire mon premier post où je t'explique que
e^(i x)=cos(x)+i sin(x)

Mais commence par écrire les 4 termes de la somme qui donne f0 (avec les e^...).

[LarryJ]

ok, j'y retourne :)

Donc je mets le i de côté:

d'où e^(i * (((-2*pi)/n)*0*28)) = cos((((-2*pi)/n)*0*28)) + i * sin((((-2*pi)/n)*0*28))

= 1 + i*0

donc f(0) = 28 * 1 = 28

:)

Donc f(1) :
e^(i * (((-2*pi)/n)*1*28)) = cos((((-2*pi)/n)*1*28)) + i * sin((((-2*pi)/n)*1*28))
= 1 + i*0

(encore ??!!)

donc f(1) = 28 * 1 = 28

Encore 28 ?? non..

[Sylviel]

quand je regarde la formule pour n=4 j'obtiens
f0 = x0+x1+x2+x3 = 28 dans ton cas

omega= e^(-2i*pi/4)=-i

f1 = x0-i x1 -x2+i x3

[LarryJ]

Bon.. il me faut réfléchir encore..

Je bûche dessus.

[LarryJ]

Ca y est, j'ai compris !

Je tronquais les calculs par méconnaissance des notations mathématiques !

Pour tout dire, je me mets aux maths et je ne comprends pas toujours tout des notations.

Bien, démonstration ! :D

pour f(1), on a (encore une fois, je ne connais pas les notations mathématiques, donc je mets entre crochets, comme en informatique):

On a x0 = 5, x1 = 8, x2 = 6, x3 = 9 et n = 4.

Respectivement, k est à considérer comme l'index de la valeur du tableau (j'ai mis du temps à le comprendre ça), d'où pour x0 , k =0; x1, k=1 ...xn-1, k=n-1

On veut f(1), donc j = 1.

Soit :

f(1) = [ x0 . e^(((-2pi*i) / 4) * 1 * 0 ) + x1. e^(((-2pi*i) / 4) * 1 * 1 ) + x2 . e^(((-2pi*i) / 4) * 1 * 2 ) + x3 . e^(((-2pi*i) / 4) * 1 * 3 )]
f(1) = -1 + 1i

On recommence ainsi de suite pour f(2), f(3)..

Et maintenant, je tombe juste :)

Sylviel, un merci infiniment est bien trop peu.

Tu as été très patient(e) avec moi et je t'en remercie. Je pars de loin mais en quelques heures, j'ai revu pas mal de concepts de math et j'en suis heureux.

Merci