Transfert sur deux corps de décomposition

[Nightmare]

Hello,

en fin de cours aujourd'hui, on a vue la proposition suivante :

Soient un isomorphisme de corps et non constant.

Si L (resp L') est un corps de décomposition de P (resp. ) sur k (resp. sur k') alors il existe un isomorphisme qui prolonge .

Le prof a oralement fait la preuve avant de partir, je suis pas sûr d'avoir capté

Au préalable, on a montré que si P était irréductible sur k alors l'était aussi sur k' et qu'on avait un isomorphisme .

Donc, on considère un diviseur irréductible de P et sa factorisation dans le corps de décomposition considéré.

A priori, le prof a parlé d'exhiber un morphisme entre et (égal alors à ).
Ca pour le coup c'est pas trop dur, je prends . On fait la même chose pour et .

Je ne sais pas comment conclure. J'ai vaguement compris qu'il voulait construire deux tours de corps et même chose pour k', où chaque étage de même niveau entre les deux tours sont isomorphes, et où a priori les derniers corps kn et kn' seraient les corps de décomposition.

Qui sont ces ki et k'i ? On retire une racine à P à chaque fois? Je ne comprends pas bien comment ça marche.

Question plus importante : Quelles sont les applications de ce transfert ?

Merci pour votre temps

:happy3:

[ffpower]

Salut!
L'idée est la suivante : tu choisit une racine de P. On cherche à prolonger à . Si S est le polynome minimal de sur K,alors doit nécessairement être une racine de , et réciproquement, si on choisit une racine de S, on peut prolonger à de sorte que , en posant pour . On vérifie que cette définition est légitime ( ie que ne dépend que de , pas de Q ) et que ce ainsi prolongé est un isomorphisme entre et ( c'était pour ce passage qu'il peut être pratique d'utiliser l' isomorphisme avec K[X]/(S), mais on peut s'en passer et au final on voit p-e mieux ainsi ce qu'on fait ). Et maintenant qu'on a un peu prolongé , ben on recommence ( sauf si , auquel cas on a fini ). On pose , , on choisit une racine de P qui n'est pas dans , disons , on regarde T le polynome minimal de sur ( attention, pas K ), et le même argument permet de prolonger sur . En continuant ainsi à prolonger de proche en proche, on va finir par prolonger à L tout entier. ( ou si on veut pas se faire chier, après avoir prolonger sur on conclut par reccurence sur [L:K], puisque [L:K_1]K ), ca forme un groupe fini. Ainsi ca permet d'associer un groupe fini à chaque extension du type K->L, et en utilisant de la théorie des groupes finis , ca permet de déduire des infos sur ces extensions.

[Nightmare]

Salut ffpower,

ayant attendue que les explications du prof, je réponds un peu après, j'ai bien compris comment marche la preuve, le raisonnement est naturel.

Concernant ton second paragraphe, je vois bien que le nombre des sigmas est fini, je l'ai d'ailleurs vu aujourd'hui en TD, mais pour montrer qu'il vaut le degré de L, là je ne comprends pas bien d'où tu tires ça. Pourrais-tu détailler?

[Ben314]

Salut,
Au départ (sans te préocuper de k'), tu construit tes extensions succéssives en prenant une racine de P (dans ) qui n'est pas dans , puis une racine de P (dans ) qui n'est pas dans , puis une racine de P (dans ) qui n'est pas dans etc jusqu'à ce que tu tombe sur .
Tu considère aussi le polynôme minimal de sur , le polynôme minimal de sur , le polynôme minimal de sur etc.
Il me semble clair que

Tu regarde maintenant comment construire pas à pas ton isomorphisme . Comme il est déjà défini sur et que tu peut calculer qui est irréductible sur (car l'est sur ) mais entièremement décomposable sur (car c'est un facteur de dont est un corps de décomposition). Il admet donc racines distinctes (modulo une hypothèse de séparation...) dans et chacune de ces racines permet une extension de à : Si est une des racines de , il suffit de poser .
Tu recommence le même raisonnement avec et etc etc

[Nightmare]

Salut Ben !

Merci c'est très clair, le point "évident" qu'il me manquait était la décomposition [L:K]=produit des degrés.