(Topologie) Topologie induite par R sur Z

[mmestre]

Bonjour,

Une question rapide sur les topologies induites :

Pour montrer que la topologie induite par R (réels) sur Z (entiers relatifs) est la topologie discrète, suffit-il de dire que toute partie de Z est l'intersection de ]-infini, +infini[ (qui est ouvert dans R) avec Z ?

Ou bien est-ce trop simple ?

[Doraki]

Serais-tu en train de dire que si A est une partie de Z alors A = R inter Z = Z ?

Il faut montrer que toute partie A de Z peut s'écrire U inter Z où U est un ouvert de R.
Effectivement, quand on choisit U = R, ça dit que Z est bien un ouvert de Z.
Mais ça explique pas pourquoi un truc comme A = {0} est un ouvert de Z.
Alors, peux-tu trouver un ouvert U de R tel que U inter Z = {0} ?

[mmestre]

Très juste Doraki, j'ai mal posé le problème.
{0}=]-1/2, 1/2[ inter Z peut-être ?

[Doraki]

Ouais, c'est un ouvert.
Tu n'as plus qu'à généraliser à une partie quelconque A de Z.

[mmestre]

Merci. Donc si j'accroche un petit ouvert à chaque nombre relatif, ça marche n'est-ce pas ?
Par exemple, l'union des ]n-1/2, n+1/2[, où l'indice n parcourt la partie de Z considérée ?

[Finrod]

Chaqu'un de ces ouverts admet le point comme intersection avec .

Si tu prend l'union, tu refais comme toute à l'heure, tu as entier.

[mmestre]

Non non, j'ai bien dit "où l'indice n parcourt la partie de Z considérée", pas Z tout entier.
Il y a autant d'ouverts que d'éléments de la partie dont il faut montrer qu'elle est ouverte dans la topologie induite.

[Finrod]

Bien vu alors !

désolé pour ma remarque inutile.

[mmestre]

Mais non, au contraire, merci d'avoir réagi :)
Bonne soirée !