Topologie induite et connexité

[Trident]

Bonsoir, j'ai des interrogations sur la notion de topologie induite.

Dans le cours, il est dit que si X est un espace topologique et si A est une partie de X, alors on peut définir une topologie sur A, appelée topologie induite par celle de E dans laquelle les ouverts sont les ensembles de la forme où U est un ouvert pour X et les fermés sont de la forme où F est un fermé pour X.

On a aussi le résultat suivant dans le cours sur la connexité.
Un espace topologique E est connexe si les seuls ensembles à la fois ouvert et fermés dans E sont le vide et E.

J'aboutit à une démonstration à priori fausse mais je ne vois pas d'où peut venir l'erreur.
C'est le résultat "Si X est un espace topologique connexe, alors toute partie A de E est connexe". Ce résultat est faux sûrement, il suffit de faire un dessin.

Soit B une partie à la fois ouverte et fermée de l'espace topologique A muni de la topologie induite.
Ainsi, B s'écrit où U est un ouvert et fermé de l'espace topologique X. Or, X est connexe, donc on a soit U=vide ou alors U=X.
Donc du coup, on a B=vide ou donc finalement les seules parties ouvertes et fermées de A sont le vide et A si bien que A est connexe.

Merci d'avance.

[adrien69]

Salut,
Là où tu te plantes c'est que U n'a pas besoin d'être ouvert et fermé dans X pour que soit ouvert et fermé dans A (fais un dessin tu verras).

En fait la définition d'un fermé G de A c'est "il existe F un fermé de X tel que G soit l'intersection de F et de A". Mais on n'a jamais dit que G ne pouvait pas s'exprimer autrement.

Exemple : ]-1/2,1] est un ouvert de [-1,1], mais c'est pourtant l'intersection de [-1,1] avec ]-1/2, 17.35], qui n'est pas ouvert pour un sou.

[adrien69]

Et c'est plus précisément ici que ça coince :

Soit B une partie à la fois ouverte et fermée de l'espace topologique A muni de la topologie induite.
Ainsi, B s'écrit où U est un ouvert et fermé de l'espace topologique X.

B est un ouvert fermé de A veut dire qu'il existe un certain ouvert U, et un certain fermé F tel que mais on n'a jamais dit F=U.

[Trident]

Ah ok, merci adrien. C'est bien vrai, je suis allé trop vite.