Topologie induite

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Soit (E,N) un ev normé
Soit A une partie de E
Soit O une partie de
Comment montrer que:
"O est un ouvert relatif à A" implique "O est l'intersection de A et d'un ouvert de E."

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

En explicitant ce que veux dire "O est un ouvert relatif à A". Je te laisse faire cette explicitation.

[Guigui1Pierre]

Désolé, j'ai oublié une lettre dans l'énoncé... Je me suis pourtant relu plusieurs fois.
Du coup, je réécris l'énoncé (mais correctement):

Soit (E,N) un ev normé
Soit A une partie de E
Soit O une partie de A
Comment montrer que:
"O est un ouvert relatif à A" implique "O est l'intersection de A et d'un ouvert de E."

précision:
"O est un ouvert relatif à A" signifie:
"pour tout x de O, il existe un réel r>0 tel que l'intersection de A et de la boule ouverte B(x,r) est incluse dans O"

[GaBuZoMeu]

Bien.

Maintenant que tu as explicité la définition, il me semble qu'il n'est pas difficile de fabriquer à partir de celle-ci un ouvert de tel que l'intersection de et de est .

Je te laisse y réfléchir. Si vraiment tu ne vois pas après mûre réflexion, je te donnerais une indication, mais ça serait mieux que tu trouves tout seul.

[Guigui1Pierre]

C'est bien ce que j'ai fait sur le papier mais je ne trouve pas d'ouvert comme ça.
J'ai même fait des schémas avec des ensembles patatoïdes. Ca m'a permis de visualiser une solution mais je n'arrive pas à l'exprimer formellement, précisément.

[GaBuZoMeu]

Dommage.
Bon, je te donne une indication : n'importe quelle réunion de boules ouvertes est un ouvert.

[Guigui1Pierre]

Maintenant je vois. Si j'y avais pensé en regardant mes schémas, j'aurais trouvé tout seul. Merci beaucoup!

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.