Topologie induite

[Trident]

Salut, je voudrais avoir la confirmation sur un exo pour être sûr que j'ai bien compris la notion de topologie induite car si je pars dans la mauvaise direction, il sera trop tard pour reprendre le bon chemin.

Soit X un espace topologique. Soit A une partie de X. On a le résultat suivant :
La famille de parties de A ouvert de X est une topologie sur A appelée topologie induite par celle de X.
Donc en fait, les ouverts de A pour la topologie induite (car il pourrait très bien y avoir d'autres to8pologies sur A!) sont en fait les traces sur A des ouverts de X.

Que dire des fermés de A pour la topologie induite ? Logiquement, c'est les ensembles de la forme où O est un ouvert de X.
Y'a un résultat du cours qui dit aussi que les fermés de A pour la topologie induite sont exactement les ensembles de la forme où F est un fermé de X.

Donc ça veut dire que si je me prend un fermé B de A pour la topologie induite, je suis sûr qu'il existe un fermé dans X tel que ?

Application :

Soit X un espace topologique et F, G des parties fermées de X telles que .
Montrer qu'une partie A de X est fermée si et seulement si ses traces dans F et G le sont pour les topologies induites.

Réponse :

"=>" : Supposons A fermée dans X. La trace de A dans F est , c'est un fermé de F pour la topologie induite puisqu'il s'écrit comme l'intersection d'un fermé de X (en l'occurrence A) et F.
De même, on montre que est un fermé de G pour la topologie induite.

"<=" :
Supposons que les traces de A dans F et G sont fermées pour la topologie induite et montrons que A est un fermé dans X.
On a : car si x est un élément de A, en particulier il est dans X donc dans F ou G puisque

Or, est un fermé de F pour la topologie induite donc on peut l'écrire sous la forme où U est un fermé de X.
De même, on peut écrire sous la forme où V est un fermé de X.

Finalement, A = fermé dans X en tant qu'union d'intersection de fermés dans X.

Si c'est correct, c'est que j'ai bien compris la topologie induite, j'espère que c'est le cas.
Merci d'avance.

[mrif]

Salut, je voudrais avoir la confirmation sur un exo pour être sûr que j'ai bien compris la notion de topologie induite car si je pars dans la mauvaise direction, il sera trop tard pour reprendre le bon chemin.

Soit X un espace topologique. Soit A une partie de X. On a le résultat suivant :
La famille de parties de A ouvert de X est une topologie sur A appelée topologie induite par celle de X.
Donc en fait, les ouverts de A pour la topologie induite (car il pourrait très bien y avoir d'autres to8pologies sur A!) sont en fait les traces sur A des ouverts de X.

Que dire des fermés de A pour la topologie induite ? Logiquement, c'est les ensembles de la forme où O est un ouvert de X.
Y'a un résultat du cours qui dit aussi que les fermés de A pour la topologie induite sont exactement les ensembles de la forme où F est un fermé de X.

Donc ça veut dire que si je me prend un fermé B de A pour la topologie induite, je suis sûr qu'il existe un fermé dans X tel que ?

Application :

Soit X un espace topologique et F, G des parties fermées de X telles que .
Montrer qu'une partie A de X est fermée si et seulement si ses traces dans F et G le sont pour les topologies induites.

Réponse :

"=>" : Supposons A fermée dans X. La trace de A dans F est , c'est un fermé de F pour la topologie induite puisqu'il s'écrit comme l'intersection d'un fermé de X (en l'occurrence A) et F.
De même, on montre que est un fermé de G pour la topologie induite.

"<=" :
Supposons que les traces de A dans F et G sont fermées pour la topologie induite et montrons que A est un fermé dans X.
On a : car si x est un élément de A, en particulier il est dans X donc dans F ou G puisque

Or, est un fermé de F pour la topologie induite donc on peut l'écrire sous la forme où U est un fermé de X.
De même, on peut écrire sous la forme où V est un fermé de X.

Finalement, A = fermé dans X en tant qu'union d'intersection de fermés dans X.

Si c'est correct, c'est que j'ai bien compris la topologie induite, j'espère que c'est le cas.
Merci d'avance.

Tu as très bien compris la topologie induite.
Je signale juste une erreur de frappe vers la fin:
A = au lieu de A = .

Edit:
Pour les fermés tu as oublié de faire l'intersection avec A
Les fermés de A sont de la forme où O est un ouvert de X, donc de la forme où F est un fermé de X

[Trident]

Ok merci mrif!