[Résolu] (Tx,x)=0 => T=0
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
melreg
- Membre Relatif
- Messages: 325
- Enregistré le: 10 Déc 2007, 20:09
-
par melreg » 16 Sep 2009, 14:24
Bonjour,
Je dois montrer:
Pour
un espace de Hilbert séparable et
un opérateur linéaire borné de
dans
:
1)
=0 \forall x,y \in V \Leftrightarrow T=0)
2)
=0 \forall x \in V \Leftrightarrow T=0)
Pour le 1) il me semble que c'est bon (un sens est trivial et pour l'autre on utilise une base orthogonale pour montrer T=0).
Pour le 2): le sens
est trivial. Pour l'autre j'essaye de montrer
=0 \forall x,y \in V)
. J'étais parti comme ça:
:
|x+y)=(Tx|y)+(Ty|x))
.
Mais après, je n'arrive à rien...
Une petit indic' serait la bienvenue... merci d'avance!
-
melreg
- Membre Relatif
- Messages: 325
- Enregistré le: 10 Déc 2007, 20:09
-
par melreg » 16 Sep 2009, 14:48
En essayant par ailleurs:
=(\left.T \lim\limits_{N \to \infty} \sum_\limits_{k=1}^{N} (x|e_k)e_k \right| \sum\limits_{k=1}^\infty (x|e_k)e_k))
(T e_k | \sum\limits_{k=1}^\infty (x|e_k)e_k))
(T e_k | e_k))
=0
On justifie la deuxième égalité par linéarité et continuité de
et
)
et la deuxième inégalité par l'hypothèse
=0 \forall x \in V)
Vous voyez une faute?
-
mathelot
par mathelot » 16 Sep 2009, 15:59
bonsoir,
p-e l'inégalité de Schwarz ?
-
melreg
- Membre Relatif
- Messages: 325
- Enregistré le: 10 Déc 2007, 20:09
-
par melreg » 16 Sep 2009, 16:18
Euh... je ne vois pas comment l'appliquer (l'inégalité de Cauchy-Schwarz)... c'est pourtant simple?
-
yos
- Membre Transcendant
- Messages: 4858
- Enregistré le: 10 Nov 2005, 20:20
-
par yos » 16 Sep 2009, 18:31
Pourtant une rotation d'angle droit dans le plan...
-
melreg
- Membre Relatif
- Messages: 325
- Enregistré le: 10 Déc 2007, 20:09
-
par melreg » 17 Sep 2009, 05:53
yos a écrit:Pourtant une rotation d'angle droit dans le plan...
En effet, yos, une rotation d'angle droit dans le plan satisfait (
=0 \forall x)
mais pas
=0 \forall x,y)
... .
Pourtant il ne me semble pas avoir fait de fautes dans l'ennoncé? Tu vois une éventuelle hypothèse que j'aurais oubliée?
-
Doraki
- Habitué(e)
- Messages: 5021
- Enregistré le: 20 Aoû 2008, 11:07
-
par Doraki » 17 Sep 2009, 06:31
Il faut peut-être que l'espace de Hilbert soit complexe.
-
melreg
- Membre Relatif
- Messages: 325
- Enregistré le: 10 Déc 2007, 20:09
-
par melreg » 17 Sep 2009, 06:53
En tout cas, l'exemple de la rotation du plan n'est plus un contre-exemple sur un espace de Hilbert complexe... . Alors, si on suppose
complexe, comment faire pour démontrer ce que j'aimerais?
-
skilveg
- Membre Relatif
- Messages: 462
- Enregistré le: 21 Mai 2008, 21:29
-
par skilveg » 17 Sep 2009, 14:14
Je pense que tu peux utiliser le fait suivant: en notant
=\langle T(x),y\rangle)
et
=\varphi(x,x))
,
est bilinéaire, et donc on a l'identité de polarisation
[CENTER]
=\frac{1}{4}(q(x+y)-q(x-y)-iq(x+iy)+iq(x-iy))=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{4}i^{-k}q(x+i^k y))
[/CENTER]
ce qui conclut par la première question.
(Par ailleurs, pour la première question, tu n'as pas besoin de base (et donc les réponses restent vraient dans un espace préhilbertien complexe quelconque): si
,
)
est orthogonal à tout vecteur de
, donc nul.)
-
melreg
- Membre Relatif
- Messages: 325
- Enregistré le: 10 Déc 2007, 20:09
-
par melreg » 17 Sep 2009, 15:02
Merci beaucoup skilveg... c'est ce qu'il me fallait!
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 122 invités
