Théorie de Galois

[Joker62]

Haileau

Toujours dans la finition de mon mémoire, je m'occupe des extensions purement inséparables.
On avait eu l'occasion de discuter un peu dessus, mais ça n'avait pas réellement abouti.

Je reprends donc.

Je définie l'exposant d'une extension purement inséparable (Radicielle pour Yos :p) P/F (En caractéristique p) comme étant le nombre e >= 0 tel que

pour tout a dans P, et il existe un a dans P tel que

On se donne donc une extension radicielle P/F telle que [P:F]<;)
Je dois montrer que P possède un exposant.

Je me donne donc un a dans P; Je sais qu'il existe un entier tel que (Caractérisation des éléments purement inséparables)

Voilà le hic, c'est que l'exposant dépend de l'élément j'imagine.
J'aimerais me servir de l'hypothèse [P:F]<;) aussi tant qu'à faire..;
Donc bon l'hypothèse me dit que l'extension est algébrique, mais apparemment, cette conséquence est déjà dans la définition d'une extension radicielle.

Ensuite, on pose , je ne vois pas du tout à quoi correspond cette notation F(P^p^i)...
Si on pouvait m'expliquer...

En vous remerciant...
D.W.

[yos]

Salut.
Pas regardé en détail, mais si tu prends une base de P sur F et un élément pour chaque élément de la base, tu peux espèrer qu'une combinaison linéaire de ces ait pour exposant (faut regarder).

La notation F(... ) est pas le plus petit corps contenant F et ce qu'il y a dans la parenthèse ?

[Joker62]

Oki je vois où intervient l'hypothèse alors comme ça.
Merci pour la piste je vais gratter par là.

Pour la notion F(...) ça correspond bien au plus petit corps mais j'ai l'habitude de l'utiliser avec un élément en argument (K(a)...) là avec un ensemble ça me semble étrange...

Donc F(P^p^i) serait le plus petit corps contenant F et les éléments de la forme a^p^i où a est dans P ?

[yos]

F(P^p^i) serait le plus petit corps contenant F et les éléments de la forme a^p^i où a est dans P ?

C'est ce que je dirais. Maintenant, hors contexte, je peux pas être catégorique.
En tout cas , ça se fait d'écrire K(S) où S est une partie d'un surcorps (voire un autre corps ayant une extension commune avec K. Mais alors on note plutôt KS et on parle de composé des deux corps. Compositum si on est pédant).

[Joker62]

So ^^
Le maximum des r_i me donnait rien de génial, alors j'ai choisi e = Somme r_i

J'ai pour tout a dans P avec n = [P:F]

Comme on est en caractéristique p, la formule de Newton nous donne :


Et comme on a bien, étant donné que , que a^p^e est dans F

ça semble correct na ?

[Joker62]

So ^^
Le maximum des r_i me donnait rien de génial, alors j'ai choisi e = Somme r_i

J'ai pour tout a dans P avec n = [P:F]

Comme on est en caractéristique p, la formule de Newton nous donne :


Et comme on a bien, étant donné que , que a^p^e est dans F

ça semble correct na ?

[yos]

Ca doit le faire avec le max r des car :

[Joker62]

Ah en effet, je m'étais un peu embrouillé dans mes exposants d'exposant...
Et en plus il est beaucoup plus petit que celui que j'avais proposé...

Merci Yos

[Joker62]

Reuh

Donc avec les notations précédentes tout ça on avait :



J'ai réussi à montrer que :
[center]
[left]Mais maintenant je dois montrer que chaque inclusion est stricte...

J'ai réussi à le montrer pour par définition même de l'exposant, mais pour les autres je vois vraiment pas :/

Quelqu'un a une idée ?
[/left]
[/center]

[Joker62]

Reuh

Donc avec les notations précédentes tout ça on avait :



J'ai réussi à montrer que :
[center]
[left]Mais maintenant je dois montrer que chaque inclusion est stricte...

J'ai réussi à le montrer pour par définition même de l'exposant, mais pour les autres je vois vraiment pas :/

Quelqu'un a une idée ?
[/left]
[/center]

[yos]

Si par exemple t'as , tu as pour tout x de P l'existence d'un y de P tel que .
En élevant les deux membres à l'exposant , tu trouves que est dans F, ce qui voudrait dire, comme on a pris x quelconque dans P, que P est d'exposant < e.

[Joker62]

Bon et bien mes plus grands remerciements Yos :)

[yos]

C'est toujours un plaisir : ces sujets m'intéressent.
Vérifie bien mes affirmations quand même : c'est pas forcément optimal, voire juste.
Par exemple ici, j'ai pas voulu élever les ensembles et à l'exposant ; j'ai préfèré travailler avec des éléments de ces ensembles : c'est peut-être de l'amateurisme de ma part.
Mais l'idée de départ, c'est ça :
.
Et ainsi de suite en remettant un exposant p.

[Joker62]

Oui d'ailleurs ça m'étonne pas mal le fait que ça t'intéresse.
Il me semble que tu es prof en lycée non ?

La plus part des profs que j'ai croisé au lycée ne se souviennent plus de rien lol.
C'est agréable :)

Et donc, oui je recopie pas bêtement t'en fais pas. C'est important pour moi aussi de comprendre.

[yos]

Je dois avoir un défaut de fabrication. Il est vrai que c'est pas au bahut que je peux parler de maths avec un collègue.
N'oublie pas de mettre ton mémoire en ligne.

[Joker62]

Un bon défaut alors :)

Le mémoire n'a rien d'extraordinaire. C'est plutôt un enchaînement de blabla.
La partie mathématique n'est pas réellement intéressante mais bon, j'étais pressé d'en finir lol :D