Théorème d'Egoroff et généralisation

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hdci
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Théorème d'Egoroff et généralisation

par hdci » 24 Mai 2021, 20:24

Bonjour,
Je suis en train de plancher sur un exercice du Rudin "analyse réelle et complexe", exercice 16 du chapitre 3 "espaces ", et j'ai un problème avec la dernière question.
Le théorème d'Egoroff dit que si la mesure de est finie, et si est une suite de fonctions mesurables convergeant (presque partout) vers , alors on peut trouver pour n'importe quel une partie telle que converge uniformément sur et

Pour cette partie, c'est bon j'ai la démonstration. C'est la suite qui m'embête.
Rudin dit alors "Avec essentiellement la même démonstration, montrer que le théorème ne se généralise pas au cas où est remplacée par avec " (donc, une famille de fonctions et non plus une suite, avec toujours le même principe de la convergence simple quand t tend vers l'infini)

Le problème, c'est que "avec essentiellement la même démonstration" j'arrive au même résultat. Voici la démonstration en question : ai-je fait une erreur ?

Pour tous et , je pose


Pour fixé, les forment une suite croissante (au sens de l'inclusion) d'ensembles dont la réunion est égale à (puisque converge simplement vers donc pour tout il existe un rang t à partir duquel son image par est toujours inférieure à 1/k (on peut également étendre à "converge pp", cela ne change rien)

Comme X est de mesure finie, il s'en suit qu'il existe un certain tel que (où est la mesure). On se débrouille alors pour que forme une suite croissante (toujours possible car si un convient, tout plus grand convient également).
On pose alors

et on remarque que la mesure de son complémentaire est inférieure à la somme des mesures des complémentaires des :


Et par construction, tout appartient à tout
Donc pour tout , on trouve bien un réel positif (en fait ) tel que


Ce qui est bien la convergence uniforme sur ...

Alors, ai-je raté un truc ? Ou est-ce le Rudin qui comporte une erreur d'énoncé ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.



 

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