Dimension de l'anti dual et généralisation du théorème du su

[ldbrun]

Bonjour,

voici le théorème du supplémentaire orthogonale:

Soit une forme bilinéaire sur un K-espace vectoriel V de dimension finie. soit W un sous esp-de V et supposons que la restriction de la forme à W est non dégénérée. Alors: V= W+W(orthogonal).


la démonstration de ce théorème comme je la connais nécessite la proposition suivante:

Soit B: V² -> K une forme bilinéaire non dégénérée d'un K-espace vectoriel V de dimension finie. Alors B induit un isomorphisme d'espaces vectoriels:
P: V -> V* (espace dual)
v -> B( - ,v) où v est fixé.

et la démonstration de cette proposition est construite de la manière suivant:
on montre la linéarité de P
on montre l'injectivité de P en montrant que par non dégénérescence de B, ker(P)={0}.
finalement, P est linéaire et injective, dim V= dim V* (dual) alors P est bijective donc c'est un isomorphisme.


J'aimerais DEMONTRER la généralisation de ce théorème aux formes sesquilinéaires hermitiennes, mais comment montrer que dim V est égale a la dimension de l'anti-dual?

PS: j'ai chercher sur internet et dans les bibliothèque mais tous les livres stipulent qu'il est facile de généraliser bon nombre des théorèmes concernant les formes bilinéaire symétrique aux formes sesquilinéaires hermitiennes sans en donner une preuve rigoureuse.

Merci beaucoup pour l'aide, je chercher vraiment à écrire une preuve rigoureuse, et non pas basée sur l'intuition. Je n'y arrive pas. Je suis étudiant en L1 à l'Epfl.
Bonne journée à vous.

[Ben314]

Salut,
C'est pas archi-clair ton truc...
1) Déjà, tu ne suppose pas tes formes symétriques ? (c'est un peu chiant pour s'y retrouver en ce qui concerne les deux orthogonaux possibles si elles ne le sont pas ainsi que les deux isomorphisme induit par la forme...)
2) Dans le cas des formes sesquilinéaires, c'est quoi que tu appelle "l'anti dual" ?
Si c'est l'ensemble des applications f:V->C telles que f(x+x')=f(x)+f(x') et f(lambda.x)=barre(lambda)f(x) alors ton "anti -dual" est trivialement isomophe au dual classique via l'application f-> barre(f) qui est de la même dimension que l'espace de départ (en dimension finie bien sûr) donc je ne vois pas trop où est la question.

[Ben314]

Salut,
C'est quoi que tu appelle "l'anti dual" de V.
A priori, je pencherais bien vers l'ensemble des applications de V->C telles que f(x+x')=f(x)+f(x') et f(lampba.x)=barre(lambda) f(x).
Si c'est la cas, alors c'est bien un e.v. de même dimension que V et la preuve est la même que pour le dual "classique" : tu part d'une base B de V et tu associe à chaque élément e de la base son "anti dual" e* qui est l'application qui à tout x de V associe le conjugué de la coordonnée en e de x. L'ensemble des e* pour e dans B est alors clairement une base de ton "anti-dual".

[ldbrun]

Salut,
C'est quoi que tu appelle "l'anti dual" de V.
A priori, je pencherais bien vers l'ensemble des applications de V->C telles que f(x+x')=f(x)+f(x') et f(lampba.x)=barre(lambda) f(x).
Si c'est la cas, alors c'est bien un e.v. de même dimension que V et la preuve est la même que pour le dual "classique" : tu part d'une base B de V et tu associe à chaque élément e de la base son "anti dual" e* qui est l'application qui à tout x de V associe le conjugué de la coordonnée en e de x. L'ensemble des e* pour e dans B est alors clairement une base de ton "anti-dual".

merci Ben314, j'ai finalement compris! c'est pas très compliqué enfaite, le fait que la base anti dual ai la même dimension est trivial comme tu le dit par l'isomorphisme lambda -> lambda(barre).

Une dernière question: une autre manière de le voir ne serait il pas simplement de dire que si une forme sesquilinéaire est non dégénérée, alors la forme bilinéaire qu'on otient en ne prenant que la partie réel de notre forme sesquilinéaire est également non dégénérée et alors il ne sert a rien de considerer (pour le théoreme du supplémentaire orthogonal) la partie imaginaire, il suffit de prendre la forme bilinéaire associée comme je l'ai définit au dessus et le théoreme qui va avec. ?

[Ben314]

La partie réelle d'une forme C-linéaire n'est pas C-linéaire. iL y a plein de façon de le voir, en particulier en disant simplement que R n'est pas un sous C-espace vectoriel de C...

Si tu veut passer par des trucs pareil, il faut voir ton C-ev comme un R-ev (de dimension double), mais tu perd pas mal de truc vu qu'une application R-linéaire sur un C-ev n'est pas forcément C-linéaire, qu'un sous R-ev n'est pas forcément un sour C-ev,... etc

Donc à mon avis, c'est une mauvaise voie d'approche du problème.

[ldbrun]

La partie réelle d'une forme C-linéaire n'est pas C-linéaire. iL y a plein de façon de le voir, en particulier en disant simplement que R n'est pas un sous C-espace vectoriel de C...

Si tu veut passer par des trucs pareil, il faut voir ton C-ev comme un R-ev (de dimension double), mais tu perd pas mal de truc vu qu'une application R-linéaire sur un C-ev n'est pas forcément C-linéaire, qu'un sous R-ev n'est pas forcément un sour C-ev,... etc

Donc à mon avis, c'est une mauvaise voie d'approche du problème.

Oui je m'en suis rendu compte après avoir répondu mais trop tard. désolé. Merci pour tout.