Théorème des Résidus

[Joker62]

Hello tous !
J'tourne un peu en rond depuis une bonne demi-heure :

Je voudrais savoir sur quel lacet vous intégreriez la fonction :



J'ai testé le demi-cercle basique en évitant le 0, mais le Lemme de Jordan n'est pas applicable sur le grand demi-cercle, donc je n'ai pû aboutir !
J'ai testé le rectangle, le triangle
Rien du tout ! Donc voilà j'm'en remet à vous

C'est pour montrer que

Merci bien (k)

[Maxmau]

Je pose f(z) = Exp(;) Exp(iz))/z
Développe en série entière de Z = Exp(iz)
D’où f(z) = Somme(k=0 à infini ; (;)^k/ k!) ( Exp(kiz)/z )
Intègre sur tout l’axe réel ( en valeur principale de Cauchy à cause de l’ennui en zéro)
En utilisant le résultat classique : Intégrale (-inf à +inf : Exp(ix)/x ) = i;) et en faisant attention au premier terme de la série, ça devrait marcher
Naturellement il y a des choses à justifier.
bon courage

[Joker62]

Merci pour l'info !
Je vais tester ceci de suite !
J'te tiens au courant :)

[Joker62]

Hummm ! bah j'arrive pô lol :D
Enfin pas moyen d'avoir un résultat similaire à celui voulu :^)
J'vais revoir un peu mon bordel :)

[Maxmau]

Hummm ! bah j'arrive pô lol
Enfin pas moyen d'avoir un résultat similaire à celui voulu :^)
J'vais revoir un peu mon bordel

Je présise mes idées

Pour x réel, f(x) = Exp(;) Exp(ix))/x = Exp(;) cosx)[cos(;) sinx) + i sin(;)sinx)]/x
Par des considérations de parité :
Integ(-R à – , f(x)dx ) + Integ(;) à R , f(x)dx ) =
2i Integ(;) à R , [Exp(;) cosx) sin(;)sinx)]dx/x )

De la même façon : ( n est ici un entier naturel >0)
Integ(-R à – , Exp(inx)dx/x) + Integ(;) à R , Exp(inx)dx/x) =
2i Integ(;) à R , sin(nx)dx/x ) = 2i Integ(n;) à nR , sinx dx/x )
Remarquons que pour tendant vers zero et R tendant vers infini,
J(n,;),R) = Integ(n;) à nR , sinx dx/x) tend vers Integ(0 à +infini , sinx dx/x) = /2

Attention pour n = 0: Integ(-R à – , dx/x ) + Integ(;) à R , dx/x) = 0


On a: f(x) = Somme(k=0 à infini ; (;)^k/ k!) ( Exp(kix)/x )
Par intégration terme à terme sur [-R,-;)] puis sur [;),R] et qq simplifications, on a :
Integ(;) à R , [Exp(;) cosx) sin(;)sinx)]dx/x ) =
Somme(k=0 à infini ; (;)^k/ k!) J(k,;),R) ) où
J(k,;),R) = Integ(k;) à kR , sinx dx/x) pour k>0 et J(0,;),R) = 0
D’où : Integ(;) à R , [Exp(;) cosx) sin(;)sinx)]dx/x ) =
Somme(k=1 à infini ; (;)^k/ k!) J(k,;),R) )

En faisant tendre vers zéro et R vers +infini,
Integ(0 à +infini , Exp[;) cosx + sin(;)sinx)]dx/x ) = (;)/2)[Exp(;)) - 1]

Naturellement, il faut justifier l’intégration terme à terme et ce dernier passage à la limite.

[tize]

Bonjour Joker et Maxmau,
j'ai testé le théorème des résidus sur le contour classique : demi cercle supérieur de rayon R + axe réel en évitant le 0 grâce au demi cercle supérieur de rayon et ça marche (avec quelques passages techniques), j'ai bien trouvé ...dis moi si tu veux plus de détails Joker.

[Joker62]

Vuahhhhhhhhhhhhhh !
I'm choked tellement c'est beau lol
Bon Bon Bon, j'imprime tout ça, je pose sur papier en justifiant et j'te fait un gros bisous après :p

Donc Hello tize et merci pour ta participation.
En fait, au début, j'avais pris le même chemin que toi et me rapelle que l'intégrale sur l'axe réel moins le 0, plus celle du petit cercle autour de 0 valait pi/2(e^a)

Il me restait donc à calculer l'intégrale sur le grand demi-cercle qui selon moi tendait vers 0, ce qui n'est pas le cas apparemment.
Je vais refaire tout ça au calme aujourd'hui et je vous tiens au courant.

Par contre, vous savez pas comment écrire de beau fichier pdf utilisant le LaTeX ??? j'aimerais bien pouvoir archiver un peu les beaux exo que je fais.

Merci à tous :]

[tize]

En ce qui concerne l'intégrale sur le grand demi cercle, après changement de variable tu peux montrer que l'intégrant tend vers 1 p.p. (partout sauf pour et ) quand et majorer l'intégrant pour tout R>0 et utiliser le théorème de convergence dominée...
Sinon pour le PDF avec du latex, tu peux utiliser un logiciel pour compiler le latex (il y en a des gratuits genre Miktex) ou alors si tu as openoffice il y a un éditeur de formule pour créer ton fichier et ensuite dans le menu tu peux convertir le fichier en pdf. Si tu as du temps je te conseille plutôt la première méthode moins évidente au début, il faut se documenter mais plus puissante...(la seconde étant plus limité à mon sens)

[Joker62]

oulà du TCD hé bé ! j'm'y attendais pas du tout !
Merci pour l'info sur TeX, j'télécharge tout ça :)

[Maxmau]

Bonjour Joker et Maxmau,
j'ai testé le théorème des résidus sur le contour classique : demi cercle supérieur de rayon R + axe réel en évitant le 0 grâce au demi cercle supérieur de rayon et ça marche (avec quelques passages techniques), j'ai bien trouvé ...dis moi si tu veux plus de détails Joker.

Bravo !
J'ai trop vite abandonné cette voie pour exploiter une autre idée.
Je reprends contact avec la variable complexe et ce avec beaucoup de plaisir.
A+ et bon travail ou bon amusement

[tize]

Merci :we: mais je te retourne le compliment je n'aurai pas pensé à utiliser ta méthode pour une fonction méromorphe...
A+