Application du théoreme des résidus

[sky-mars]

Bonjour tout le monde !
Voici un petit exercice sur les variables complexes traitant l'application des théorèmes des résidus.
Je souhaiterai un peu d'aide s'il vous plait
Merci

On cherche à déterminer un signal f(t) de la variable temps t>0 à l'aide de la connaissance de son comportement spectrale noté F(s)= dont est une variable complexe.
Sous certaines conditions les deux fonctions sont liiées par l'intégrale de contour suivante.




Où est le segment parallèle à l'axe imaginaire défini par l'équation de (est une constante réelle positive et bornée)
est le demi cercle de rayon R sur le demi-plan gauche.
et les deux arcs reliant les deux parties et

On cherche à étudier le cas où :


1) Est ce que l'un des 2èmes lemme de Jordan s'applique à l'intégrale suivant ? Lequel? Quelle est la valeur limite de cette intégrale ?
2) En développement l'intégrale suivant montrer que celle ci tends vers 0 quand R tends vers l'infinie
3) Déterminer f(t) à l'aide du théorème des résidus.





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Ce que j'ai fait

1) Alors rappelons donc le second lemme de Jordan
Soit F une fonction méromorphe dans le demi-plan Im(s) > 0 vérifiant

et Soit alors
= 0

Ici c'est pas OK car n'est pas dans
Sa serai bon pour , mais quand il demande la valeur limite de l'intégrale c'est pour quel contour ???

2) on fait une paramétrisation et on majore l'intégrale et sa devrait aller
3) >_< ' alors la je sais pas trop

[Arkhnor]

Salut.

1) Est-ce qu'un changement de variables ne pourrait pas nous ramener sur ?

3) C'est la méthode habituelle, pour le calcul d'intégrale par les résidus. Pour un R assez grand, l'intégrale sur le contour va être constante. (on n'entoure plus de nouveaux pôles) On calcule cette constante (calculs de résidus), et on a que la somme des intégrales sur tes 4 petits contours vaut cette constante. On fait tendre R vers l'infini, d'un côté, c'est toujours la constante, et de l'autre, en te servant des résultats précédents qui annulent la contribution de certains contours, tu obtiens la limite que tu cherches.

PS : Transformée de Laplace ?

[sky-mars]

Salut

Quel changement de variable ?

[Arkhnor]

Une translation ...

[Arkhnor]

Enfin, une translation sur la variable , du coup, c'est plutôt une rotation. ^^

[sky-mars]

Salut
je n'ai pas très bien saisi le coup de la translation sur la variable

[Arkhnor]

Et bien pour ramener l'intervalle d'intégration de à , tu fais un changement affine en posant , non ?

A moins que je n'ai pas compris ta question ...

[sky-mars]

bon déjà je me perds avec la 1ère question
sur le second lemme de jordan n'est pas applicable c'est bien ça . mais par contre pour c'est ok ?
et sa donnerait ca


c'est juste ?? ?

[Arkhnor]

Je ne comprends pas le problème, on a (en abrégé, les F et f ne sont pas des données du problème, c'est juste pour pas tout avoir à taper) :
Apparement, le lemme de Jordan ne s'applique pas à cause du domaine d'intégration, et bien, tu poses dans la dernière intégrale , ce qui donne une intégrale entre 0 et Pi, et là ça marche, non ?

Sinon, tu ferais mieux de préciser de quel lemme de Jordan tu parles, parce qu'il en existe plusieurs versions.

De toute manière, les lemmes de Jordan, c'est juste des "recettes de cuisine", pour montrer qu'une intégrale tend vers 0 : tu vérifies les hypothèses, si c'est bon, et bien t'appliques le lemme, si c'est pas bon, tu essayes de voir si on peut pas se ramener aux hypothèses, et sinon, on tente autre chose.

[sky-mars]

en fait c'est nulle partout (quand ) sauf sur c'est bien ça ?

[Arkhnor]

Je n'ai pas fait les calculs, mais dans l'idéal, c'est ce qu'il faudrait obtenir : on souhaite calculer la limite de l'intégrale sur Gamma 4, comme dans les applications classiques de théorème des résidus, on ferme le contour, et on essaye de montrer que les contributions des intégrales qu'on a rajoutées tendent vers zéro.

[sky-mars]

bon pour les premieres question y'a pa de souci
En fait le second Lemme de jordan c'est :
si f est holomorphe et on a





AQT