Théorème des polynômes annulateurs

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ludovic44
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Théorème des polynômes annulateurs

par ludovic44 » 22 Juin 2024, 07:01

Bonjour,

Je travaille avec le Gourdon (algèbre bien entendu !).

Soit E un ev de dim finie.

L'auteur a démontré le théorème des polynômes annulateurs: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Plus tard, après avoir introduit la notion de polynôme minimal de , il écrit dans une remarque que le théorème précédent, dans le cadre du polynôme minimal, s'interprète ainsi:

"Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples".

Pourtant, il me semble que le sens direct ne découle pas du théorème des polynômes annulateurs. En effet, si le polynôme minimal est scindé à racines simples, est bien diagonalisable puisque le polynôme minimal est un polynôme annulateur. Mais réciproquement, il faut-il bien le démontrer ou ais-je louper quelque chose ?

D'ailleurs, j'ai lu une preuve dans le Grifone de ce sens direct mais qui utilise le théorème de Cayley-Hamilton, théorème qui est démontré après la remarque dans le Gourdon.

Bref, je suis un peu confus et un petit peu d'aide serait bienvenue !

Bon weekend à tous :-)



GaBuZoMeu
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Re: Théorème des polynômes annulateurs

par GaBuZoMeu » 22 Juin 2024, 09:45

Bonjour,
Le polynôme minimal de est le polynôme unitaire qui engendre l'idéal des polynômes annulateurs de , donc il divise tous les polynômes annulateurs de .
Si a un polynôme annulateur scindé à racines simples ... tu vois ?

ludovic44
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Re: Théorème des polynômes annulateurs

par ludovic44 » 22 Juin 2024, 09:52

Bonjour, merci pour votre réponse :-)
Donc, si j'ai bien compris:
Si est diagonalisable, alors admet un polynôme annulateur P scindé à racines simples. Le polynôme minimal de divise P donc est nécessairement scindé à racines simples.

GaBuZoMeu
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Re: Théorème des polynômes annulateurs

par GaBuZoMeu » 22 Juin 2024, 16:29

Correct.

 

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