Tester si une matrice negative ou non

[paradoxham]

slt Mr Mm
j aime connaitre comment je peut tester une matrice de dimension 3*3 s il est negative ou non
merci

[serge75]

Qu'appelles-tu une matrice négative?
Pour autant que je traduise ton énoncé, il s'agit d'une notion uniquement attachées aux matrices symétriques réelles, ou aux matrices transconjuguées complexes. Pour ne pas alourdir, je vais traiter le cas réel :
Une matrice symétrique réelle notée A est dite négative lorsque sa forme quadratique canoniquement attachée dans R^3 est négative. en d'autres termes lorsque pour tout vecteur colonne X on a transposée(X)AX<=0.
Via une diagonalisation dans une BON, on voit assez facilement que ceci équivaut à dire que les valeurs propres de A sont toutes négatives.
D'où le critère voulu : A est négative lorsque toutes ses vp sont négatives.
Une condition nécessaire (mais non suffisante) en est que sa trace et son déterminant doivent être tous deux négatifs.
Sinon, si le polynôme caractéristique n'a pas de racine évidente, une étude de fonctions peut permettre quand même de déterminer le signe des racines ; la dichotomie peut alors aider.
Enfin, pour les plus savants : on écrit la forme quadratique associée à A :
q(x,y,z)=ax²+by²+cz²+2dxy+2exz+2fyz.
Le théorème d'inertie de Sylvester nous indique que la signature de la forme quadratique est constante. Il suffit alors d'appliquer la méthode de Gauss pour la réduire en carrés pour obtenir sa signature (p,q), où p désigne le nombre de termes positifs et q les négatifs, avec p+q<=3.
La condition pour que ta matrice soit négative est alors p=0. Pour qu'elle soit strictement négative : p=0 et q=3.
Voilà.

[abel]

Si par "négative" tu entends qu'elle est orthogonale de determinant -1 alors il faut justement calculer le det, voir si la matrice conserve la norme et c'est bon, il existe une BON telle que la matrice à une forme reconnaissable (symetrie, composée rotation/symetrie etc...).
PS : Quand je parle de norme, je parle de la norme associée au produit scalaire

[serge75]

Si ta matrice est orthogonale et symétrique, c'est alors la matrice d'une symétrie orthogonale. En effet, on a alors d'une part transposé(A)A=I et d'autre part transposée(A)=A, d'où A²=I : c'est une symétrie. Et par ailleurs les seules symétries autoadjointes sont les symétries orthogonales. cqfd.
Du coup, je ne pense pas que ce soit la bonne lecture de l'énoncé.

[abel]

Effectivement, j'allais le modifier.