bonjour,
soit f:R-->R une fonction de classe C2 sur R
en utilisant la formule de taylor avec reste intégral montrer que si
f(x)->0 en +oo et f"(x)->0 en +oo
alors f'(x)->0 en +oo
je ne vois pas comment faire, j'ai écris la formule de taylor mais après...
merci
Taylor
20 messages
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par barbu23 » 04 Fév 2012, 15:38
Bonjour, :happy3:
Soit
:
On applique la formule de Taylor avec reste integral sur l'intervalle
. :happy3:
On obtient :
 = f(x) + f'(x) + \int_{x}^{x+1} (x+1-t) f''(t) dt $)
Donc,
 = f(x+1) - f(x) - \int_{x}^{x+1} (x+1-t) f''(t) dt $)
C'est à dire :
| \leq |f(x)| + |f(x+1)| + | \int_{x}^{x+1} (x+1-t) f''(t) dt | $)
Essaye de finir la majoration. :happy3:
Soit
On applique la formule de Taylor avec reste integral sur l'intervalle
On obtient :
Donc,
C'est à dire :
Essaye de finir la majoration. :happy3:
par zork » 04 Fév 2012, 17:23
comment as tu su qu'il fallait prendre l'intervalle [x,x+1]?
et qu'il fallait faire cette majoration:?
et qu'il fallait faire cette majoration:
par barbu23 » 04 Fév 2012, 19:22
Bonjour, :happy3:
J'ai déjà fait cet exo avant quant j'étais encore étudiant comme toi, je me souviens bien de cette méthode qui est facile à retenir ... C'est en faisant des exos ( 6 ou 7 au moins ) qu'on forge une intuition sur différents possibilités d'appliquer le formule de Taylor ... Donc, on ne se perd pas ... On sait quelle méthode on va utiliser ... D'ailleurs, elles ne sont pas nombreux ces méthodes ... Il suffit d'avoir dèjà fait un nombre suffisants d'exos qui permet de contourner tous les cas possibles ... Ce là ne veut pas dire, qu'il faut faire une grande quantité d'exos pour comprendre, non, il y'en ceux qui restent toute leur vie à faire beaucoup d'exercices sur un thème précis sans jamais réussir par exemple leurs examens de classe ... Par contre, d'autres, ne font que
et 
exos et réussissent leurs examens facilement ... comme moi par exemple ... :zen: moi, je te conseille de bien retenir ta formule Taylor ... tu lis d'abord l'exo ... tu regardes sur quelle classe est définie la fonction, si elle est de classe 
, alors, il ne faut pas dépasser  $)
quant tu écris la formule de Taylor sur ton bruillon, si la fonction est de classe 
, il ne faut pas dépasser  $)
... etc
Bref, pour revenir à ta question :
Par définition, la formule de Taylor à l'ordre de sur l'intervalle 
est :
 = f(a) + (b-a)f'(a) + \int_{a}^{b} (b-t) f''(t) dt $)
Ensuite, on regarde les hypothèses, il s'agit de = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f''(x) = 0 $)
, donc, au lieu de 
, on met 
, et la formule de Taylor, devient :
 = f(x) + (b-x)f'(x) + \int_{x}^{b} (b-t) f''(t) dt \ \ (1) $)
Ensuite, la stratégie consiste à avoir un truc comme ça :
| \leq g(x) $)
avec  = 0 $)
Ce genre de majoration est le point centrale sur lequel se base la majorité des exos appliquant la formule de Taylor ...
Donc :
f'(x) = f(b) - f(x) - \int_{x}^{b} (b-t) f''(t) dt $)
Ensuite, pour pouvoir, calculer $)
, il faut mettre par exemple 
... Pourquoi ? ... parce que, sinon, nous serons obligé de calculer  $)
et donc ,là, ça peut tendre à l'infini au lieu de 
... et pour se faire , on pose donc, : 
, on obtient finalement :
 = f(x+1) - f(x) - \int_{x}^{x+1} (b-t) f''(t) dt $)
Et on fait le genre de majoration que j't'ai parlé dans ces petites lignes qui précèdent, et qui consiste à appliquer la propriété :
avec implique  = 0 $)
Cordialement. :happy3:
J'ai déjà fait cet exo avant quant j'étais encore étudiant comme toi, je me souviens bien de cette méthode qui est facile à retenir ... C'est en faisant des exos ( 6 ou 7 au moins ) qu'on forge une intuition sur différents possibilités d'appliquer le formule de Taylor ... Donc, on ne se perd pas ... On sait quelle méthode on va utiliser ... D'ailleurs, elles ne sont pas nombreux ces méthodes ... Il suffit d'avoir dèjà fait un nombre suffisants d'exos qui permet de contourner tous les cas possibles ... Ce là ne veut pas dire, qu'il faut faire une grande quantité d'exos pour comprendre, non, il y'en ceux qui restent toute leur vie à faire beaucoup d'exercices sur un thème précis sans jamais réussir par exemple leurs examens de classe ... Par contre, d'autres, ne font que
Bref, pour revenir à ta question :
Par définition, la formule de Taylor à l'ordre de
Ensuite, on regarde les hypothèses, il s'agit de
Ensuite, la stratégie consiste à avoir un truc comme ça :
Ce genre de majoration est le point centrale sur lequel se base la majorité des exos appliquant la formule de Taylor ...
Donc :
Ensuite, pour pouvoir, calculer
Et on fait le genre de majoration que j't'ai parlé dans ces petites lignes qui précèdent, et qui consiste à appliquer la propriété :
Cordialement. :happy3:
par zork » 04 Fév 2012, 21:10
pour la majoration je majore l'intégrale et j'arrive à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\int_x^{x+1} |f"(t)dt|)
que j'intègre et j'ai f'(x+1)-f'(x) mais est que f(x+1) tend vers 0?
par barbu23 » 04 Fév 2012, 22:26
Bonjour, :happy3:
On applique deux fois, l'inégalité générale suivante :
 g(x) dx | \leq \int_{a}^{b} | f(x) g(x) | dx \leq \displaystyle \sup_{x \in [a,b]} | f(x) | \times \int_{a}^{b} |g(x)| dx $)
.
Cordialement. :happy3:
On applique deux fois, l'inégalité générale suivante :
Cordialement. :happy3:
par barbu23 » 04 Fév 2012, 23:02
zork a écrit:mais ca ne me dit toujours pas si f(x+1) tend vers 0
Si
par zork » 05 Fév 2012, 22:41
[quote="barbu23"]Bonjour, :happy3:
On applique deux fois, l'inégalité générale suivante :
 | \times \int_{a}^{b} |g(x)| dx)
.
d'ou vient cette propriété?
On applique deux fois, l'inégalité générale suivante :
d'ou vient cette propriété?
par zork » 06 Fév 2012, 13:08
n'y a t-il pas une autre facon de majorer car je n'ai pas vu cette propriété en cours
par juju33950 » 06 Fév 2012, 13:12
barbu23 a écrit:Elle vient du cours : :hein:
Je suis en Première Scientifique, j'ai une moyenne de 18/19 et j'envisage de prendre spé maths en term, mais là... J'ai peur.
par barbu23 » 06 Fév 2012, 14:34
D'accord, alors j'ai fait une erreur ... Peut être qu'on ne voit cette façon d'écrire lintégrale que à partir de L3 :
 dx = \displaystyle \lim_{n \to + \infty } (b_{i+1} - b_{i} ) f(\xi_{i} ) $)
avec
: une subdivision de et 
...
Donc, si vous n'aimez pas la regarder, vous l'oublier ... :happy3:
Voici une autre façon simple d'établir l'inégalité :
:  | \leq \displaystyle \sup_{t \in [a,b]} |f(t)| $)
Celà implique que :| |g(x)| \leq \Big( \displaystyle \sup_{t \in [a,b]} |f(t)| \Big) \times |g(x)| $)
On passe à l'integrale :
| |g(x)| dx \leq \int_{a}^{b} \Big( \displaystyle \sup_{t \in [a,b]} |f(t)| \Big) \times |g(x)| dx $)
Et puisque :| $)
est une constante, alors :
| |g(x)| dx \leq \Big( \displaystyle \sup_{t \in [a,b]} |f(t)| \Big) \times \int_{a}^{b} |g(x)| dx $)
avec
Donc, si vous n'aimez pas la regarder, vous l'oublier ... :happy3:
Voici une autre façon simple d'établir l'inégalité :
Celà implique que :
On passe à l'integrale :
Et puisque :
par barbu23 » 06 Fév 2012, 20:06
Tu peux mettre ce que tu veux : 
ou ou 
ou 
... ce que tu veux ... :happy3:
par zork » 06 Fév 2012, 20:13
donc là je peux majorer l'intégrale par |f"(t)|<=sup|f"(t)|
donc l'intégrale<=sup|.|(x+1)
mais je ne tend pas vers 0
par barbu23 » 06 Fév 2012, 21:50
Parce que, par hypothèse :
 = 0 $)
et donc :
: | 0 \ \ \exists A > 0 \ \ \forall t,x \in D_f \ $)
: | 0 \ \ \exists A > 0 \ \ \forall x \in D_f \ $)
: | < \epsilon $)
| \longrightarrow 0 $)
quant : 
J'attends la confirmation des autres, parce que, je ne suis pas sûr d'avoir manipuler correctement et ... :happy3:
J'attends la confirmation des autres, parce que, je ne suis pas sûr d'avoir manipuler correctement
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