Taylor-Lagrange et Newton

[TS2502]

Bonsoir tout le monde
Me revoilà avec une question pouvant paraître simple mais je ne vois pas comment y répondre.
En effet, j'ai déterminé la précision d'un terme précis par la méthode de Newton sur la fonction f(x)=x²-2.
On me demande de comparer cette précision avec celle fournie par la formule de T-L mais je ne vois pas comment obtenir cette dernière car je ne vois pas en quel(s) point(s) je dois appliquer la formule...

Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci à vous

PS: je n'ai pas réécrite les formules en imaginant qu'elles sont relativement connues de tous ici. Sinon, je les reposterai.

[Pseuda]

Bonjour,

On imagine que le but de l'algorithme est de calculer une valeur approchée de .

Donc . J'imagine qu'il faut développer la fonction avec Taylor-Lagrange au point 0.

[mathelot]

PS: je n'ai pas réécrit les formules en imaginant qu'elles sont relativement connues de tous ici. Sinon, je les reposterai.

oui, je veux bien

[Pseuda]

Bonjour,

En y réfléchissant un peu plus, la formule de Taylor-Lagrange de la fonction au point d'abscisse 0, ne donne évidemment rien pour obtenir une valeur approchée de avec un développement polynomial d'un nombre entier.

Avec un changement de variable, il faut se ramener je pense à la fonction au point d'abscisse 1 : avec , . On obtient une majoration de l'erreur avec le reste intégral.

La comparaison avec la méthode de Newton paraît intéressante (je n'ai pas fait). Mais une comparaison sur quelle base, majoration de l'erreur au bout de n itérations ?

[TS2502]

Bonjour, désolée du retard.
mathelot : J'ai montré plus tôt dans mon exercice que la formule de T-L nous indique qu'il existe c appartenant à ]a;b[ tel que f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+((b-a)²/2)f''(c). Puis dans une autre partie j'ai montré qu'il existe (cn) entre a et b tel que abs(xn+1-r) est inférieur ou égal à[(xn-r)²/2f'(xn)]abs(f''(cn))
où abs désigne la valeur absolue et r est le point en lequel f s'annule et étant la limite de (xn)

pseuda : On cherche à comparer la précision de x5 issu de la méthode de Newton à la méthode de T-L (donc 6ème terme de la suite). Cependant, je ne vois pas comment les comparer ; l'idée du changement de variable semble correspondre à ce que je souhaite mais je ne vois pas lequel faire : comment passer de sqrt(x+2) à sqrt(X+1) ? En posant X=x+1 ? (sqrt désigne la racine carrée)

Merci de votre aide en tout cas

[Pseuda]

Bonjour, désolée du retard.
mathelot : J'ai montré plus tôt dans mon exercice que la formule de T-L nous indique qu'il existe c appartenant à ]a;b[ tel que f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+((b-a)²/2)f''(c). Puis dans une autre partie j'ai montré qu'il existe (cn) entre a et b tel que abs(xn+1-r) est inférieur ou égal à[(xn-r)²/2f'(xn)]abs(f''(cn))
où abs désigne la valeur absolue et r est le point en lequel f s'annule et étant la limite de (xn)

pseuda : On cherche à comparer la précision de x5 issu de la méthode de Newton à la méthode de T-L (donc 6ème terme de la suite). Cependant, je ne vois pas comment les comparer ; l'idée du changement de variable semble correspondre à ce que je souhaite mais je ne vois pas lequel faire : comment passer de sqrt(x+2) à sqrt(X+1) ? En posant X=x+1 ? (sqrt désigne la racine carrée)

Merci de votre aide en tout cas

Bonjour,

En effet, mais je ne vois pas comment faire converger une suite récurrente (définie par avec la formule de Taylor de la même façon qu'avec la méthode de Newton. Donc restons sur la formule de Taylor développée à l'ordre 6.

Si je comprends bien (mais j'ai peut-être tout faux), on cherche une valeur approchée de , avec les moyens du bord (sans calculatrice ni ordinateur). Avec la méthode de Newton et la fonction , cela converge très vite, car , sur l'intervalle [1,2] et l'écart (inférieur à 1 la 1ère fois) est pris au carré à chaque itération.

Avec la formule de Taylor, on cherche à approximer avec un développement polynomial qu'on sait calculer. On fait le changement de variable sur la fonction avec , et on se retrouve à évaluer à l'aide de la formule de Taylor de la fonction en 0 (qu'on sait calculer) évaluée au point d'abscisse 1, donc à l'ordre 6 et une majoration du reste.

[Kolis]

Bonjour !
Es-tu sûr(e) que l'énoncé parle de formule de Taylor-Lagrange ?
Dans ce cas rien à dire on t'a répondu du mieux possible.

Mais il me vient un doute : ne serait-ce pas une comparaison avec la méthode de Lagrange (dite aussi "régula falsi") où on remplace la courbe par une corde ?

[TS2502]

Bonjour, peut-être ai-je mal expliquer mon problème, je vais joindre à ce message mon énoncé complet de DM.


pseuda : Nous avons calculer numériquement les premiers termes (je joins mon programme python et les résultats obtenus). Je vais essayer de faire le changement de variable et d'évaluer en 1 la formule de T-L dans le but d'obtenir la précision de celle-ci mais je n'ai pas vraiment compris ce qu'est la "majoration du reste"...

1ère ligne : premiers termes de la suite (de x_{0} à x_{5})
2ème ligne : rapport de sqrt{2} par chaque terme de la suite

kolis : Je vous remercie de votre aide et je sais que vous avez surement déjà répondu à ma question mais nous n'avons pas encore fait le cours sur le développement limité ou ces formules donc je suis un peu perdue...
J'espère que mon énoncé sera plus clair...

Je voulais aussi savoir si je pouvais vous demander de l'aide pour les questions 1.b, 2.c et 3.b de cet énoncé.
Merci encore mille fois de votre aide

[TS2502]

pseuda : J'ai essayé de faire ce que vous m'aviez conseillé avec le changement de variable et tout cela, mais je ne vois pas comment faire : j'obtiens des résultats étranges...
A partir de la formule que mon énoncé me fournit, j'ai calculé c avec a=0 et b=1 pour obtenir =qq chose.
Cependant, j'obtiens c=

Je suis quelque peu perdue...

[mathelot]

1.b
f' est continue sur l'intervalle compact [a;b] et f' >0 (car elle ne change pas de signe)
elle est minorée par sa borne inf m. Comme f' est continue et [a;b] compact,
f' atteint son minimum donc m est strictement positif.
Il existe m>0 tel que sur [a;b]
De même f'' est continue sur le compact [a;b], elle est dc majorée et atteint son maximum M.
Il existe dc M tel que
sur [a;b]

[TS2502]

Merci beaucoup mathelot, je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé plus tôt, merci à toi

[mathelot]

2.c


comme
on a

puis



applique ensuite Taylor-Lagrange au numérateur pour prouver l'existence de

3.b se montre par récurrence sur l'entier n.


Il n'y a pas de méthode de Taylor-Lagrange de résolution d'équation.la méthode "regula falsi"
n'est pas utilisée içi.
A la fin, on demande de comparer l'approximation "physique"
calculée par Python avec la majoration obtenue par la méthode de Newton.
On veut savoir en pratique si l'algorithme donne une approximation prévue par la méthode de Newton,
par exemple si on a bien choisi les points a et b suffisamment proches.

[TS2502]

Ah merci ! J'avais pensé à Taylor-Lagrange, mais je ne voyais pas où l'appliquer... Merci beaucoup

Avec Python, on obtiendrait une précision à 16 décimales mais je ne vois pas comment comparer la majoration obtenue par la méthode de Newton avec celle numérique. Je pensais comparer avec mais je ne connais pas m et M...

[mathelot]

on peut prendre

[TS2502]

Merci, je vais réessayer avec ça

[mathelot]

Python donne une majoration de l'erreur empirique.
La méthode de Newton donne une erreur majorée par
au rang n

étudier les ratios est une très bonne idée

[Pseuda]

Cela va mieux avec l'énoncé.