Tangent space

[zebullon]

Bonjour

Sur l'article http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space on peut lire le passage "The tangent space of M at x, denoted by TxM, is defined as the set of all tangent vectors". Les tangent vectors sont eux meme definis comme une classe d'equivalence de courbes par la relation "tangent au pt x"; et plus loin donc, le tangent space a un point est l'ensemble des classes d'equivalences..

Donc les tangent vectors est un ensemble comprenant toutes les courbes tangentes a un point x.
Le tangent space au point x serait la reunion de cette unique ensemble ??... et donc = tangent vectors au point x ??...

Le seul interet que je verrais c'est une relation d'equivalence X~Y si il existe un point du manifold ou les courbes X et Y sont tangentes (Je sais pas si c est une vraie equivalence hein....juste un exemple) et ensuite on ferait l'union de toutes ces classes d'equivalences... Mais cette definition ressemble plus a celle du tangent bundle.

Donc je vois pas en quoi je pourrais avoir plus d une classe d'equivalence pour la relation tangent a x, et donc l'union ne me sert a rien..

Merci de m'eclairer.

[Doraki]

Non la définition de l'espace tangent à P c'est l'ensemble des courbes [-1 ; 1] -> M, qui passent par le point P en 0, quotienté par la relation f ~ g si et seulement si f et g ont la même dérivée en 0 (au sens où on prend n'importe quelle carte locale ;) : U -> R^n, alors ;)°f et ;)°g sont définies sur un voisinage de 0, et on dit f~g <=> d(;)°f)/dt (0) = d(;)°g)/dt (0). Exercice : si on a 2 cartes locales, d(;)1°f)/dt (0) = d(;)1°g)/dt (0) <=> d(;)2°f)/dt (0) = d(;)2°g)/dt (0))

Autrement dit, l'espace tangent classifie les courbes passant par P selon leur vitesse en ce point. C'est tout. On est juste un peu gêné parcequ'on est obligé de choisir une carte si on veut vraiment calculer ces vitesses.

Par exemple, si M = R^n, ben il suffit juste de classer les fonctions [-1 ; 1] -> R^n qui passent par P en 0 selon leur dérivée en 0. C'est tout. Donc tous les espaces tangents sont en fait des espaces vectoriels et sont isomorphes à R^n, et tu peux définir le fibré tangent trivial M x R^n.

Ensuite pour M quelconque, pour voir que les espaces tangents forment un vector bundle ben il suffit juste de découper M en morceaux isomorphes à des ouverts de R^n, voir qu'alors les espaces tangents sont isomorphes à ce fibré trivial, et recoller.
Exercice : si t'as 2 cartes locales ;)1,;)2 : U -> R^n, la correspondance obtenue entre les fibrés tangents ;)1(U) x R^n et ;)2(U) x R^n est un isomorphisme de fibrés tangents.
(en conséquence, l'addition de deux vecteurs tangents est bien définie et ne dépend pas de la carte locale choisie pour faire le calcul)


Les définitions par le dual de l'espace cotangent ou par l'espace des dérivations ont l'avantage d'être purement algébrique, elles ne nécessitent pas de parler de cartes.

[zebullon]

Merci pour la reponse je vais bosser dessus.

[zebullon]

Ca y est j ai compris le debut.
Des millions de courbes peuvent passer par p, et toutes avoir des derivees differentes.
Dans ce cas, mes vectors sont des classes ne comprenant qu'une courbe.
Mon vector space est l'ensemble de ces courbes toutes ayant une derivee differente en p.

Ensuite tu dis que pour pouvoir calculer la derivee il faut qu'on choisisse un systeme de coordonnees/atlas.

Je vais continuer sur la suite.
Merci