Tables d'intégrales pour recherche

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olietard
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tables d'intégrales pour recherche

par olietard » 23 Juin 2009, 12:31

Bonjour à tous

En préparation d'une thèse en économie je plante sur un modèle dont la résolution demande la connaissance de toutes les intégrales de 0 à théta
de [tg(theta)]^k, avec k > 0 quelconque.

Bien sûr, il y a des valeurs entières de (k) pour lesquelles ces intégrales sont triviales, mais j'aurais besoin de références bibliographiques, soit à des
formulaires en cas de solution analytique, soit à des tables numériques pour des valeurs de (k) sans solution de ce type.

Toute proposition sera la bienvenue.

Il est inutile de surcharger ce forum avec vos réponses, qui, vraisemblablement, n'intéressent que moi. Aussi je vous remercie d'avance de me les envoyer à mes deux adresses électroniques : EDIT : pas de coordonnées en clair.

Un grand merci d'avance
Olivier Liétard
Saint-Etienne



busard_des_roseaux
Membre Complexe
Messages: 3151
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par busard_des_roseaux » 25 Juin 2009, 14:46

Bj-aloha,


La dérivée de la fonction tan() est

soit la fonction somme:




dérivons F par rapport à




avec une progression géométrique



Nous avons donc primitivé l'intégrale demandée pour les exposants k pairs.

De même:











mais une primitive de est -
ce qui donne la primitive demandée dans le cas k impair.

busard_des_roseaux
Membre Complexe
Messages: 3151
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par busard_des_roseaux » 26 Juin 2009, 12:42

re,





sauf erreur

JJa
Membre Relatif
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par JJa » 27 Juin 2009, 07:57

Bonjour,

Les primitives de tg(x)^k ne s'expriment pas avec un nombre fini de fonctions usuelles dans le cas général où k est quelconque.
Sauf pour certaines valeurs particulières de k, une primitive sera une série infinie, ou sera présentée formellement selon une fonction spéciale.
Le changement t=tg(x) conduit à l'intégrale d'Euler. Ce qui donne les primitives sous la forme suivante :
(1/(k+1))*(tg(x)^(k+1))*F(a,b;c;X)+constante
Dans laquelle F(a,b;c;X) est la fonction hypergéométrique de Gauss, avec :
a = (k+1)/2
b = 1
c = 1+((k+1)/2)
X = -(tg(x))^2
En pratique, on est de toute façon conduit à du calcul numérique, que ce soit par intégration numérique directe, ou que ce soit en passant par la fonction hypergéométrique de Gauss dont le calcul est implémenté dans les logiciels de calculs mathématiques.

busard_des_roseaux
Membre Complexe
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par busard_des_roseaux » 27 Juin 2009, 12:28

JJa a écrit:Les primitives de tg(x)^k ne s'expriment pas avec un nombre fini de fonctions usuelles dans le cas général où k est quelconque.


ah ok.je n'ai traité que k entier naturel.

sinon, l'intégrale devient

pour obtenir les formules citées par JJa !!

JJa
Membre Relatif
Messages: 254
Enregistré le: 06 Mar 2008, 17:52

par JJa » 28 Juin 2009, 17:57

Le résultat peut aussi être exprimé avec une fonction spéciale de plus bas niveau que la forme générale de l'hypergéométrique de Gauss.
Il s'agit de la fonction Beta incomplète B(u,v;X).
Avec cette fonction, les primitives s'écrivent :
(1/2)*B(u,v;X)+constante
u = -(k-1/2
v = (k+1)/2
X = tg²(thêta)
(sauf erreur, à vérifier)

 

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