Systéme linéaire d'ordre 2.

[Kartoch]

Bonsoir à tous, je suis nouveau ici.
Donc j'en profite pour me présenter, Kartoch, 21 ans en 3éme année de math appliqué et sciences humaines.

Cette année j'étudie les modélisation mathématique. Dans cette matiére on y retrouve les chaines de Markov, la loi de Leontief, les équations différentielles. Enfin toutes ces choses merveilleuses qui des fois peut rendre fou :marteau:

Mon probléme est le suivant et pour vous l'illustrer je vais faire un exemple.

J'ai mon systéme
x'=2y
y'=2x

Pour le résoudre, soit je passe par une équation différentielle d'ordre 2 ce qui donne
x''=(x')'=(2y)'=4x
A ceci j'y associe le polynome (a la place de lambda je mets A)
A²-4 = 0
Donc (A-2)(A+2) = 0

Par conséquent les solutions de x sont x(t)= c e ^-2t + d e ^2t. Avec c et d des constances dans R
Pour trouver y(t) je sais que que 2y(t) = x
Donc y(t) = (-2 c e^-2t)/2 + (2 d e ^2t)/2 = -c e ^-2t + d e ^2t

Donc aucun probléme me direz vous.
Bah en passant par une autre méthode je trouve pas pareil. Je m'explique
x'=2y
y'=2x
Cela me donne une matrice
0 2
2 0
Ces valeurs propres sont 2 et -2. Et ses espaces propres sont
Pour -2 > -x+y= 0 donc v= (1,1)
Pour 2 > x+y = 0 donc w=(-1,1)
Donc pour moi
P = 1 1 P-1 = 1/2 -1/2
-1 1 1/2 1/2

D = 2 0
0 -2

Et la je sais que (x',y') = A (x,y) donc en posant A = PDP-1 j'obtiens
(x',y') = PDP-1 (x,y)
Je multiplie maintenant des deux côtés par P-1 ce qui donne
P-1(x',y') = P-1PDP-1(x,y) = DP-1(x,y).

Je pose maintenant P-1(x,y) = (u,v) donc j'ai (u', v') = D(u,v)

Je pose donc
u' = 2u
V' = -2v
Comme ce sont des équations homogénes j'ai
u= c e ^2t
v= d e ^-2t

Comme je sais que P-1(x,y) = (u,v) alors (x,y) = P(u,v) en multipliant par P de chaque côté.

Donc
x= c e ^2t + d e ^-2t
y = -c e ^2t + d e^-2t

Apres cette explication que j'ai faite la plus détaillé possible pour que vous comprenez le mieux.
Ma question, pourquoi je trouve pas le même résultat dans les deux cas ? De plus quand je trace mes courbes, j'obtiens pas pareil. Donc je comprends vraiment pas ou est le probleme.

Merci par avance.

[Maxmau]

Bj
Fais une vérification
Il me semble que la première solution est la bonne (sans doute une erreur ds la diagonalisation de A)

[Kartoch]

Merci de ta réponse.

J'ai vérifié et revérifié mes calculs et je suis assez confiant sur le fait qu'ils soient bons.
Peut etre que je me plante dans les graphes et que je bloque pour rien depuis le début d'aprem ..

Je vais essayé de voir.
C'est bête car c'est le dernier point sur lequel je bloque pour mon partiel :hum: ^^

Merci par avance si qqun m'aide :)

[fatal_error]

salut,

je pense que dans le deux tu t'es planté avec le vecteur associé a la valeur propre 2.
Tu ecris w(-1,1) et pour la matrice de passage utilise w(1,-1) seulement a la fin, tu utilise la matrice
1 -1
1 1
au lieu de
1 1
1 -1
dont tu t'es servi pour diagonaliser.
Apres, tas juste a remplacer c par d et d par c.

En espérant pas dire de boulettes :we:

[fatal_error]

Salut,

tu t'es planté dans le calcul des valeurs propres :
le vect propre associé a 2, c'est (1,1)
et donc pour -2, c'est (1,-1)

Apres ca roule normalement.

[Kartoch]

Salut,

tu t'es planté dans le calcul des valeurs propres :
le vect propre associé a 2, c'est (1,1)
et donc pour -2, c'est (1,-1)

Apres ca roule normalement.

Oh merde, je suis le pire des boulets j'ai oublié que c'était -lambda.
J'ai un sentiment de soulagement (j'ai tout compris) et de honte, comment j'ai pu me planter la !! :mur: :mur: :mur:

Merci beaucoup. Tres sympa ce forum, vais y rester, pour essayer d'aider les autres et avoir de l'aide :we: