Systeme générateur et libres

[light51]

bonjour

1)soit F={(x,y,z) appartient a R3 ; x+2y-z=0, un sous espace vectoriel de R3.
donner le système génerateur de F?
soit F' ={(x,y,z) appartient a R3 un autre sous espace vectoriel, donner le système génerateur de F' ?

soit S={(-1,3);(-3,1) un ensemble de vecteur de R2. S engendre t' il R2? Si on ajoute à S le vecteur (1,1) le nouveau systheme obtenu engendre t' il R2?
soit S' = {(1,1,1,);(1,2,3);(4,5,1) , un ensemble de vecteur de R3?

soient U=(2,2,4) , v=(1,2,3), w=(2,0,2) et z=(3,2,5) quatre vecteur de R3?
Montrer que vect{U,V}=vect{w,z}

2) reconnaitre les systhemes libres parmi les ensembles de vecteur suivant:

S1={(0,1),(0,3)}; S2=((1,1),(4,-1),(5,-4))

S3=((1,2,2),(0,0,0),(5,6,6)} s4{(1,1,1),(1,3,5),(2,0,0),(-5,3,4))

3) soient U1 U2 U3 U4 quatre vecteur de Rn
on sait que U4=U1-U2+3U3 que peut on dire du rang de {U1 U2 U3 U4 }??
si rang U1 U2 U3 =3 que peut on dire de U1 u2 u3? du rang de {U1, U2 U1+U2}?
du rang de { U1,U2,2U1+U2-U3)?


4) s={(1,1,3),(1,a,2),(1,0,2) discuter le rang de s en fonction du paramètre a



:mur: j' ai tout essayer je n' arrive pas à trouver les solutions à ces question ? y' a t' il des experts en algebre lineaire???merci de votre aide

[nuage]

Salut,
pour le début de la première question je pense que F est l'ensemble des (x,y,z) de R3 tels que x+2y-z=0.
Pour trouver un système générateur tu peux prendre z=0, et trouver que le vecteur (2,-1,0) est dans F puis faire la même chose avec x=0 et vérifier que les 2 vecteurs obtenus sont indépendants.

Pour F' on ne sait rien, il est donc impossible de donner un système générateur.

Il est immédiat que S engendre R2 : les deux vecteurs qui le composent ne sont pas colinéaires et R2 est de dimension 2. Ensuite on peut ajouter n'importe quels vecteurs à un système générateur, il le reste par définition.
je ne vois pas de question sur S'.

Et j'arrête ici.

A+

[light51]

Salut,
pour le début de la première question je pense que F est l'ensemble des (x,y,z) de R3 tels que x+2y-z=0.
Pour trouver un système générateur tu peux prendre z=0, et trouver que le vecteur (2,-1,0) est dans F puis faire la même chose avec x=0 et vérifier que les 2 vecteurs obtenus sont indépendants.

Pour F' on ne sait rien, il est donc impossible de donner un système générateur.

Il est immédiat que S engendre R2 : les deux vecteurs qui le composent ne sont pas colinéaires et R2 est de dimension 2. Ensuite on peut ajouter n'importe quels vecteurs à un système générateur, il le reste par définition.
je ne vois pas de question sur S'.

Et j'arrête ici.

A+

salut merci pour ton aide mais voila la réponce du professeur: on doit trouver vect{(1,0,1);(0,1,2)}
et pour f' on doit trouver vect{(1;1;0)}

mais voila j' y comprend rien du tout je suis ecore un novice!

[nuage]

salut merci pour ton aide mais voila la réponce du professeur: on doit trouver vect{(1,0,1);(0,1,2)}
et pour f' on doit trouver vect{(1;1;0)}

mais voila j' y comprend rien du tout je suis ecore un novice!

On ne doit pas trouver, on peut trouver, un sev quelconque a toujours une infinité de systèmes générateurs.
Pour F' tu ne donnes aucune condition, donc on ne peux rien trouver.

Pour justifier la réponse de ton prof (qui est une parmi une infinité de réponse possibles)

1+2x0-1=0
0+2x1-2=0
Les 2 vecteurs donnés sont dans F.
Si x+2y-z= 0 on a z=x+2y donc (x,y,z)=(x,y,x+2y)=x(1,0,1)+y(0,1,2)

[light51]

On ne doit pas trouver, on peut trouver, un sev quelconque a toujours une infinité de systèmes générateurs.
Pour F' tu ne donnes aucune condition, donc on ne peux rien trouver.

Pour justifier la réponse de ton prof (qui est une parmi une infinité de réponse possibles)

1+2x0-1=0
0+2x1-2=0
Les 2 vecteurs donnés sont dans F.
Si x+2y-z= 0 on a z=x+2y donc (x,y,z)=(x,y,x+2y)=x(1,0,1)+y(0,1,2)

salut merci pour ta réponce

ok je note ce que tu as écrit il y' a une infinité de possibliltés mais j' ai du mal à comprendre cette ligne
Si x+2y-z= 0 on a z=x+2y donc (x,y,z)=(x,y,x+2y)=x(1,0,1)+y(0,1,2)[/quote]
pourquoi z=x+2y et pas x=z-2y puis la lignes qi suit je ne la comprend pas du tout :doh: pourtant tu as bon!(jai la corection)

personne pourait m' aider pur les autres questions?

[Echelon]

x=z-2y tu aurais (z-2y,y,z)=y(-2,1,0)+z(1,0,1) ==> d'ou le fait que t'ais une infinité de solutions...
Mais je pense qu'il est trop tard.
Je continu pour mon propre intérêt dans ce post pour ne pas "flooder" ailleurs. J'ai quelque problème de compréhension concernant les familles génératrices et les conditions a remplir. J'ai essayé de trouver les réponses dans des livres ou ailleurs mais la notation est toujours ******... différente.
Est ce qu'il faut pour que la famille soit génératrice que card(n) >= rang
n est le nombre de colonnes et le rang, le rang de la matrice.
merciii

[nuage]

Salut Echelon
je pense que c'est une mauvaise idée de te rajouter sur un fil si tu as une question différente (même voisine) à poser. Tu risques de passer inaperçu.

Si j'ai bien compris ta question tu cherches la définition d'une famille génératrice d'un (sous) espace vectoriel.

Soit E un (sous) espace vectoriel, la famille de vecteurs est génératrice si et seulement si tout élément de E peut s'écrire comme combinaison linéaire (pas forcément de façon unique) d'éléments de G.
Ce qui suppose de façon évidente que le nombre d'éléments de G est plus grand que la dimension de E.
Et si m est la dimension de E on a rang(G)=m.
Car le rang de G est au moins m (cette famille engendre E) et c'est au plus m puisque tous ses éléments sont dans E.

[leon1789]

Dans ta matrice, les vecteurs sont bien rangés verticalement ?

[Echelon]

aaaah c'est gentil de me repondre !! Merci pour le conseil. En fait ma question etait quasiment ca et tu y a repondu plus clairement que la plupart des bouquins,des td et des cours dans lesquels je suis allé chercher....
En fait c'est de la definition de dimension de l'espace sur laquelle je doutais.
Par exemple un sous espace vectoriel a pour dimension son cardinal (nombre de colonnes), alors qu'une famille de vecteurs dans R^n aura pour dimension n.
Arretes moi si je me trompe.==> de cette notion de dimension dépend la notion de famille generatrice.
Quoiqu'il en soit merci pour ton attention.

[nuage]

[...]
En fait c'est de la definition de dimension de l'espace sur laquelle je doutais.
Par exemple un sous espace vectoriel a pour dimension son cardinal (nombre de colonnes), alors qu'une famille de vecteurs dans R^n aura pour dimension n.

Ça c'est pas vrai. La dimension d'un (sous) espace vectoriel est le cardinal d'une base. C'est à dire d'une famille génératrice et libre.
Il y a un théorème, assez facile à démontrer, qui affirme que deux bases peuvent-être mises en bijection (c'est le changement de base).
Une famille de vecteurs de engendre un sous espace de dimension au plus .
Mais, par exemple, dans la famille
engendre un sous espace de dimension 1

[...] Arretes moi si je me trompe.==> de cette notion de dimension dépend la notion de famille generatrice.
[...]

Oui, bien sur, mais aussi de celle de famille libre.

[Hapistorique]

Pour l'exo 1 l'énoncé c'est:

Soit F' ={(x,y,z) appartient a IR3 ; x=y, z=0} un autre sous espace vectoriel, donner le système génerateur de F' ?

Je suis à la FAC de Reims, ils recyclent les TD apparemment

Je galère =(