Système générateur

[Timothé]

Bonjour à tous !
Je peaufine mes révisions en vue du partiel qui m'attend demain et je bug sur une question toute bête:
Je dois montrer qu'un système {t,u,v,w} composé de vecteurs t=(1,5,-1), u=(-2,-11,4), v=(-2, -13, 4) et w=(3,1,3) est générateur de R^3 et en determiner une base.
Pour commencer je cherche donc un vecteur a=(x,y,z) tel que a= λ_1(u)+ λ_2(v)+ λ_3(w)+ λ_4(t)
Je déroule et m'amuse avec mon pivot de Gauss et me retrouve avec un système échelonné avec pour dernière ligne: -3 (λ_3)-22(λ_4)=10x+2y+z
Je pense donc à fixer un λ mais je sèche et ne vois pas comment...
Je me retrouve avec un système avec plus d'inconnues que d'équations, donc si je ne dis pas de bêtise, il est question d'une infinité de solution ?

En vous remerciant par avance.

Un cerveau en surchauffe.

[mathelot]

salut,
est un espace vectoriel de dimension 3, ce qui veut dire:

- une famille de vecteurs génératrice a au moins 3 éléments
(par exemple , une famille de deux vecteurs n'est pas génératrice)

- une famille de vecteurs libre a au plus 3 éléments
(par exemple , une famille de quatre vecteurs n'est pas libre)

- une famille libre de 3 vecteurs est aussi une famille génératrice, donc une base

- une famille génératrice de 3 vecteurs est aussi une famille libre, donc une base.

Une base est une famille libre maximale (on ne peut pas lui ajouter un vecteur et qu'elle reste libre) et une famille génératrice minimale (on ne peut pas lui ôter un vecteur et qu'elle reste génératrice) , pour la relation d'ordre d'inclusion entre ensembles.

on a le théorème suivant:
Soient L une famille de vecteurs libre et G une famille de vecteurs génératrice avec

Alors il existe une base B telle que

si tu as vû les déterminants, tu peux calculer det(t,u,v)=4 , montrer qu'il n'est pas nul.

Alors , est une famille libre donc une base de R^3, donc une famille génératrice de R^3


autre méthode:
montrer que est une famille génératrice , et donc à fortiori aussi.

[mathelot]

Je pense donc à fixer un λ mais je sèche et ne vois pas comment...

on peut lui attribuer la valeur nulle. Ce qui revient à chercher une famille génératrice de 3 vecteurs.

Dans le cas où l'on cherche une famille génératrice , c'est l'existence des coefficients de la combinaison linéaire qui est recherchée et pas nécessairement leur unicité.