Ex sur la périodicité

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vovic
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Ex sur la périodicité

par vovic » 19 Nov 2015, 15:08

Bonjour comment motrer la périodicité d'une fonction
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Pour continur quelle piste il faut prendre?



pianojo
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par pianojo » 19 Nov 2015, 15:21

Quel que soit x dans R, cos(x+2pi)=cos(x). En prenant la valeur absolue de chaque côté, on trouve la même périodicité. Attention: la dernière ligne que vous avez écrite est fausse en général : cos(-x)=cos(x).

Matt_01
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par Matt_01 » 19 Nov 2015, 17:36

Attention piano, il y a un coefficient 1/2 dans le cosinus.
|cos(t/2)| égal à cos(t/2) si cos(t/2)>=0, égal à -cos(t/2) sinon : ca ne dépend pas exclusivement du signe de t.
De manière générale, |f(x)| = f(x) si f(x) est positive, -f(x) sinon (et ca ne dépend donc pas exclusivement du signe de x).

Pour ton problème, que vaut cos(t+pi) ?

Et au passage, l'égalité que tu écris avec les intégrales n'est pas une caractérisation des fonctions périodiques, juste une conséquence.

MouLou
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par MouLou » 19 Nov 2015, 18:08

cos(x+Pi)= ?

vovic
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par vovic » 19 Nov 2015, 18:14

l'égalité des integrales definis ne peut pas servir a demontrer que f est périodique?
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Matt_01
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par Matt_01 » 19 Nov 2015, 18:18

Non, c'est faux.
Est-ce qu'on te demande d'expliciter la fonction f ? (c'est à dire ce qu'elle vaut, et quand).
Non (et tant mieux parce que tu le fais mal, cos(t/2)>=0 n'est pas équivalent à t/2On te demande simplement de prouver que f(t+2pi)=f(t).
Donc tu prends t dans R, et tu montres que f(t+2pi)=f(t).
Et pour cela tu vas avoir besoin de répondre à la question déjà posée : que vaut cos(t+pi) ?

vovic
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par vovic » 19 Nov 2015, 18:30

cos(t + pi) = ;)cos t

Matt_01
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par Matt_01 » 19 Nov 2015, 18:40

Et donc |cos(t+pi)|=|cos(t)| non ? Car |-x|=|x|

Black Jack
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par Black Jack » 19 Nov 2015, 18:51

cos((t + 2Pi)/2) = cos(t/2 + Pi) = -cos(t/2)

--> |cos((t + 2Pi)/2)| = |-cos(t/2)| = |cos(t/2)|

et donc 2Pi est UNE période de f(t) = |cos(t/2)|

MAIS avec un grand MAIS :

En général, si on demande LA périodicité du fonction f(t), on désire connaître la plus petite valeur strictement positive de T telles que f(t) = f(t + T)
*****

Dans la démo ci-dessus, on prouve juste que T = 2Pi est UNE période de f(t) = |cos(t/2)|, mais absolument pas que T = 2Pi est la plus petite valeur strictement positive qui convient.

Remarque que c'est bien le cas ... mais cette démo n'est pas, pour moi, suffisante.

:zen:

vovic
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par vovic » 19 Nov 2015, 18:58

voici l'exercice complet

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Black Jack qu'est ce qu'il manque

vovic
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par vovic » 19 Nov 2015, 19:00

pour la parité il faut montrer que f(-x)=f(x)?

c'est la valeur absolue qui me perturbe

Matt_01
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par Matt_01 » 19 Nov 2015, 19:01

J'suis pas trop d'accord là dessus.
D'une part (et c'est mon argument majeur), je pense que l'exercice en question était "montrer que f 2pi périodique".
D'autre part, certes pour les fonctions continues on peut déterminer la plus petite période, mais dans le cas général, si une fonction non continue est 1 périodique et pi périodique, il n'y a aucune raison de faire primer la 1 périodicité, sachant que ces deux périodicités sont alors en quelque sorte "indépendantes" (j'ai pas cherché à savoir s'il en existe réellement de telles sortes qui ne soient pas constantes, mais je pense).

Matt_01
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par Matt_01 » 19 Nov 2015, 19:12

Genre tu imagines la relation d'équivalence ~ telle que x~y <=> x-y est dans Z+piZ
Alors la condition de 1 périodicité et pi périodicité se résume à f constante sur chaque classe d'équivalence.

Pour la parité : c'est bien ca.

Black Jack
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par Black Jack » 19 Nov 2015, 20:02

Exemple simpliste

f(x) = sin(34x/3 + Pi) a pour période T = 51 Pi

Et on peut vérifier qu'on a bien f(x) = f(x + 51.Pi)

Cependant, faire cette vérification n'indique en rien que T = 51 Pi est la plus petite valeur strictement positive telle que f(x) = f(x + T)
*****

Dans un tel exemple : f(x) = sin(3x/17 + Pi)
il faudrait faire ceci :

sin(34x/3 + Pi) = sin(34(x+T)/3 + Pi)

et comme un sinus est 2 Pi périodique, alors : 34(x+T)/3 + Pi = 34x/3 + Pi + 2Pi

34x/3 + 34T/3 + Pi = 34x/3 + Pi + 2Pi

34T/3 = 2Pi

T = 6Pi/34 = 3Pi/17

La période (la plus petite strictement positive possible) de f(x) = sin(3x/17 + Pi) est 3Pi/17
*****

:zen:

Matt_01
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par Matt_01 » 19 Nov 2015, 20:08

Oui mais on peut parler de "période la plus petite possible" seulement dans le cadre des fonctions continues (à vrai dire l'hypothèse peut sûrement être beaucoup plus générale, genre un point de continuité suffit).
Une question du type : "Trouver la période de cette fonction" est pour moi incorrecte, et donc quoi qu'il arrive, trouver la plus petite est censé être indiqué dans la question.

vovic
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par vovic » 19 Nov 2015, 23:17

et pour montrer que la fonction est continu sur R?, on a montré qu'elle est periodique, il faut voir si elle est continue dans sa periode 2pi, puis constater qu'elle est continue sur chaque k*2pi, ou k entier positif???

Matt_01
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par Matt_01 » 19 Nov 2015, 23:22

En soit, pour montrer que f qui est T périodique est continue sur R par exemple, il suffit en effet de montrer que f est continue sur [0,T].
Ici on peut directement montrer que la fonction est continue sur R : la fonction t->|t| l'est, la fonction t -> cos(t) aussi, ainsi que la fonction t -> t/2.

vovic
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par vovic » 19 Nov 2015, 23:27

ce n'est pas en etudiant les limites à gauche et à droite de t-->0 et pour t-->2pi qui doivent être egaux a f(0) respectivement à f(2pi)

vovic
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par vovic » 20 Nov 2015, 00:00

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Matt_01
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par Matt_01 » 20 Nov 2015, 00:06

Si f est T périodique, continue sur [0,T], alors à priori f(0)=f(T) et f converge à gauche en T vers f(T) (continuité en T) et converge à droite en 0 vers f(0) (continuité en 0).
Un cas où il faut parler des "bords" se présente lorsqu'on te donne une fonction continue sur [0,T] et qu'on te dit qu'on la prolonge en une fonction T périodique sur R (on la duplique sur [T,2T] etc ...). Dans ce cas, pour vérifier la continuité sur R, il suffit de montrer que f(0)=f(2pi).

 

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