Périodicité

[abs(x)]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à faire et malheureusement, je n'y arrive pas.

1) Montrer que f : x -> E(x) - x est 1-périodique
2) Trouver toutes les fonctions périodiques et monotones sur R
3) Soit f : R -> R une fonction T-périodique
a) Montrer que si f admet une limite finie en l'infini alors f est constante
b) Montrer que sin n'admet pas de limite en l'infini
4) Soit f : R -> R. Prouver que si la courbe représentative de f admet deux centres de symétrie distincts sur (Ox) ou deux axes de symétrie distincts parallèles à (Oy) alors f est périodique.

J'ai réussi la première question.

La deuxième m'embête un peu. Comme fonctions périodiques et monotones sur R, il y a les fonctions constantes, mais ce ne sont pas les seules ? Et comment le démontrer ?

Pour la 3)a), on n'a pas encore fait le cours dessus mais j'aimerais comprendre le pourquoi du comment.
La b) découle de la a) je pense.

Pour la 4), je n'ai pas d'idées même si géométriquement, c'est une évidence ..

Merci d'avance.

[ThSQ]

Pour le deux

Sinon f(a) < f(b) < f(a+T)=f(a)

[abs(x)]

Heu, comment tu sais que f(a+T) > f(b) ?

[skilveg]

On peut se passer de faire un raisonnement par l'absurde: si est périodique monotone sur , disons de période et croissante, et si et sont deux points de , alors donc .

[ThSQ]

Heu, comment tu sais que f(a+T) > f(b) ?

Je les choisis comme il faut (et c'est f(b) <= f(a+T) mais ça change rien)

[abs(x)]

Ah ok d'accord, je comprends. Merci

Pour la 3), c'est un théorème ? Quelque chose, on n'a pas encore vu le cours mais ça m'intéresse ^^
Ça me permettrait d'essayer la 3b)

Merci