Supplémentaire

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide.

J'ai un -ev et je dois montrer que .

J'ai posé .

J'ai d'ores et déjà montrer que , par contre je n'arrive à rien pour montrer que .

Merci d'avance pour votre aide :++:

[adrien69]

Yo, comment tu décomposes un polynôme quelconque en une somme de polynôme pair et de polynôme impair ?

[capitaine nuggets]

Yo, comment tu décomposes un polynôme quelconque en une somme de polynôme pair et de polynôme impair ?

Salut !

Pour : où est pair et impair.

[adrien69]

Oui mais non. En vrai tu fais comment ?

[adrien69]

J'explicite. Quelle est la forme d'un polynôme pair ?

[arnaud32]

une fois que tu as avec pair et impair

[adrien69]

une fois que tu as avec pair et impair

C'est vrai mais ce n'est pas ce qu'il faut, la deuxième partie n'est pas paire. C'est pour ça qu'ici il faut expliciter.

[adrien69]

En fait, si ici on écrit P=(1-X)Q(X²)+B avec B pair, on a -XQ(X²) qui vaut la partie impaire de P que j'appelle I. Et donc B est donné par P-I/X, encore faut-il tout bien rédiger. D'où la nécessité de toute façon d'expliciter.

[capitaine nuggets]

En fait, si ici on écrit P=(1-X)Q(X²)+B avec B pair, on a -XQ(X²) qui vaut la partie impaire de P que j'appelle I. Et donc B est donné par P-I/X, encore faut-il tout bien rédiger. D'où la nécessité de toute façon d'expliciter.

J'ai pas bien compris, tu peux réexpliquer stp :lol3:

[adrien69]

Alors, on est d'accord que tout polynôme pair est de la forme Q(X²) ?
Et que au contraire un polynôme impair s'écrit XQ(X²) ?
(pour le montrer il suffit d'écrire P sous sa forme canonique dans la base habituelle de R[X], d'où mon "faut expliciter")

Procédons donc par analyse-synthèse.
Si P=(1-X)Q(X²)+B(X), où B est pair,
Alors Comme P s'écrit de manière unique (décomposition pair-impair) A+I, où A est pair, I impair,
On a Q(X²)+B(X) qui est pair car l'ensemble des polynômes pairs est un espace vectoriel, il vaut donc A, d'où B=bidule.
Mais -XQ(X²) est impair et donc vaut I. On a donc Q(X²)=-I/X, c'est bien possible car I est impair donc I/X est pair. D'où l'écriture et l'unicité.
Et en faisant la synthèse on a le résultat.

[capitaine nuggets]

Alors, on est d'accord que tout polynôme pair est de la forme Q(X²) ?
Et que au contraire un polynôme impair s'écrit XQ(X²) ?
(pour le montrer il suffit d'écrire P sous sa forme canonique dans la base habituelle de R[X], d'où mon "faut expliciter")

Procédons donc par analyse-synthèse.
Si P=(1-X)Q(X²)+B(X), où B est pair,
Alors Comme P s'écrit de manière unique (décomposition pair-impair) A+I, où A est pair, I impair,
On a Q(X²)+B(X) qui est pair car l'ensemble des polynômes pairs est un espace vectoriel, il vaut donc A, d'où B=bidule.
Mais -XQ(X²) est impair et donc vaut I. On a donc Q(X²)=-I/X, c'est bien possible car I est impair donc I/X est pair. D'où l'écriture et l'unicité.
Et en faisant la synthèse on a le résultat.

J'ai toujours du mal à comprendre ton raisonnement.
Je ne connais pas ta procédure : "analyse-synthèse".
Pourrais-tu m'en donner le principe : en quoi cela consiste ?

Merci :we:

[adrien69]

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