Sup et inf

[samirou]

Bonsoir, j'aimerais bien de l'aide pour cet exercice

Soit A une partie non vide et majorée e IR.
Un réel s est la borne supérieure de A (c'est à dire s=sup A) si et seulement si :
i) Pour tout a ;) A , a ;)s
ii) Poutr tout n ;) IN*, il existe b ;) A tel que s -1/n < b (s moins 1sur n)

a) Énoncer et démontrer un théorème de caractérisation de la borne inférieure
b) Déterminer les bornes supérieures et inférieures de
A={(n^2 -1)/(n^2 +1),n ;)IN* }

[jlb]

Soit B une partie non vide et minoré de IR.
Un réel s est la borne inférieure de B (c'est à dire s=sup A) si et seulement si :
i) Pour tout b ;) B , b >=s ( s est un minorant)
ii) Poutr tout n ;) IN*, il existe b ;) B tel que s +1/n > b ( si tu augmentes un peu s, ce n'est plus un minorant)


0=<(n^2 -1)/(n^2 +1)<1 pour tout n ;)IN*
0 est l'inf ( c'est m^me le min atteint pour n=1) et 1 est le sup 1 majore l'ensemble et (n²-1)/(n²+1) tend vers 1 donc pour tout E>0 il existe un no tq 1-E < (no²-1)/(no²+1)<1

[jlb]

Bonsoir
quand tu traduis i) et ii) en langage courant i) signifie que s est un majorant et ii) c'est le plus petit dans le sens où si tu diminues un tant soit peu s, ce n'est plus un majorant.

adapte cela à la borne inf: i) c'est un minorant et ii) si tu l'augmentes un tant soit peu ce n'est plus un minorant


après montre que 0 et 1 sont inf et sup de A ( 0 c'est facile, c'est même le minimum de A et pour 1 tu peux majorer et étudier ce qui se passe pour n très grand)