Bonjour,
Je sèche complètement sur un exo que j'ai trouvé sur le net (sans le corrigé); si quelqu'un a une idée, elle est plus que bienvenue...
Mille Mercis par avance.
Voici l'énoncé : montrer que pour tous entiers n et k,on a :
1x2x...xk + 2x3x...(k+1) + n(n+1)...(n +k -1) = n(n+1)...(n+k)/(k+1)
Laurent
Suites et sommes...
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somme et dérivée
par busard_des_roseaux » 10 Fév 2008, 08:45
bonjour,
On pose
=x^k+x^{k+1}+\cdots+x^{n+k-1}=x^{k} \frac{1-x^n}{1-x})
La somme S à calculer vaut:
}(1))
or:
(1-x)=x^k-x^{n+k})
(1)
On utilise la formule de Leibnitz de dérivation à l'ordre k d'un produit de deux fonctions u et v:
}^{(k)}=\sum_{i=0}^{k} \, ( _{i}^{k} ) u^{(i)} v^{(k-i)})
L'égalité (1) donne en dérivant à l'ordre (k+1):
}(x)(1-x) - (k+1) f^{(k)}(x) =-(n+k)(n+k-1)(n+k-2) \cdots (n))
et le résultat avec x=1.
On pose
La somme S à calculer vaut:
or:
On utilise la formule de Leibnitz de dérivation à l'ordre k d'un produit de deux fonctions u et v:
L'égalité (1) donne en dérivant à l'ordre (k+1):
et le résultat avec x=1.
par pianiste06 » 10 Fév 2008, 08:50
Merci beaucoup pour votre réponse, mais je dois vous avouer, que même si j'avais passé ma vie à chercher cet exo, je serai mort sans l'avoir trouvé!
Comme quoi, il faut se méfier des exos qui paraissent simples...
Laurent
Comme quoi, il faut se méfier des exos qui paraissent simples...
Laurent
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