[mpsi] Suites récurrentes

[Anonyme]

Bonjour,

j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cet exo concernant les
suites. Je dois déterminer les couples (a,b) de réels positifs tels que
pour tout suite réelle (u_n) on ait la propriété suivante :
a*u_n+1 - b*u_n tend vers 0 => (u_n) tend vers 0.

J'ai déjà pu montrer qu'une condition nécessaire était a > b, mais je
n'arrive pas à montrer que c'est une condition suffisante. Un petit peu
d'aide serait le bienvenu !

merci d'avance

--
albert

[Anonyme]

Salut

> Bonjour,
>
> j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cet exo concernant les
> suites. Je dois déterminer les couples (a,b) de réels positifs tels que
> pour tout suite réelle (u_n) on ait la propriété suivante :
> a*u_n+1 - b*u_n tend vers 0 => (u_n) tend vers 0.
>
> J'ai déjà pu montrer qu'une condition nécessaire était a > b, mais je
> n'arrive pas à montrer que c'est une condition suffisante.

Déjà il est clair que l'on doit avoir a b (sinon une suite convergente
vers t 0 fait office de contre-exemple). Sous cette hypothèse, on peut
supposer a et b non nuls (pour a *et* b nuls, ça marche pas, et pour a *ou*
b nul ("ou" exclusif), ça marche toujours). On peut aussi supposer a > b
(sinon considérer la suite définie par la relation de récurrence avec u_0 =
1).
Maintenant pour a > b on remarque que à eps fixé >0, on a:
u_(n+1) <= eps/a + b/a*u_n à partir d'un certain rang n, et par récurrence:
u_(n+k) <= (b/a)^k*u_n + 1/a*eps*sum((b/a)^(i-1), i 1..k), ce qui est
inférieur à (1/(a-b)+1)*eps dès k suffisamment grand. CQFD (relis les
calculs j'ai la flemme de tout écrire).

--
Julien Santini

[Anonyme]

Salut

> Bonjour,
>
> j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cet exo concernant les
> suites. Je dois déterminer les couples (a,b) de réels positifs tels que
> pour tout suite réelle (u_n) on ait la propriété suivante :
> a*u_n+1 - b*u_n tend vers 0 => (u_n) tend vers 0.
>
> J'ai déjà pu montrer qu'une condition nécessaire était a > b, mais je
> n'arrive pas à montrer que c'est une condition suffisante.

Déjà il est clair que l'on doit avoir a b (sinon une suite convergente
vers t 0 fait office de contre-exemple). Sous cette hypothèse, on peut
supposer a et b non nuls (pour a *et* b nuls, ça marche pas, et pour a *ou*
b nul ("ou" exclusif), ça marche toujours). On peut aussi supposer a > b
(sinon considérer la suite définie par la relation de récurrence avec u_0 =
1).
Maintenant pour a > b on remarque que à eps fixé >0, on a:
u_(n+1) <= eps/a + b/a*u_n à partir d'un certain rang n, et par récurrence:
u_(n+k) <= (b/a)^k*u_n + 1/a*eps*sum((b/a)^(i-1), i 1..k), ce qui est
inférieur à (1/(a-b)+1)*eps dès k suffisamment grand. CQFD (relis les
calculs j'ai la flemme de tout écrire).

--
Julien Santini

[Anonyme]

Julien Santini a écrit:

> Déjà il est clair que l'on doit avoir a b (sinon une suite convergente
> vers t 0 fait office de contre-exemple). Sous cette hypothèse, on peut
> supposer a et b non nuls (pour a *et* b nuls, ça marche pas, et pour a *ou*
> b nul ("ou" exclusif), ça marche toujours). On peut aussi supposer a > b
> (sinon considérer la suite définie par la relation de récurrence avec u_0 =
> 1).
> Maintenant pour a > b on remarque que à eps fixé >0, on a:
> u_(n+1) u_(n+k) inférieur à (1/(a-b)+1)*eps dès k suffisamment grand. CQFD (relis les
> calculs j'ai la flemme de tout écrire).

merci beaucoup

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41C7F62F.70308@hotmail.com...
> Bonjour,
>
> j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cet exo concernant les
> suites. Je dois déterminer les couples (a,b) de réels positifs tels que
> pour tout suite réelle (u_n) on ait la propriété suivante :
> a*u_n+1 - b*u_n tend vers 0 => (u_n) tend vers 0.
>
> J'ai déjà pu montrer qu'une condition nécessaire était a > b, mais je
> n'arrive pas à montrer que c'est une condition suffisante. Un petit peu
> d'aide serait le bienvenu !

On élimine d'emblée les cas a=0 ou b=0 qui sont évidents.
On suppose maintenant a>0 et b>0
On peut également écrire ceci sous la forme u(n+1)-c*u(n)-->0 avec c=b/a>0
Tu poses (S) : pour tout n>=0, v(n)=u(n+1)-c*u(n)
On va exprimer u(n) en fonction des v(k).
Pour cela, on utilise la version discrète de la variation de la constante
pour les équations différentielles

On résout l'équation homogène
(S0) : pour tout n>=0, u(n+1)-c*u(n)=0
dont les solutions sont les suites géométriques de raison c
c'est-à-dire u(n)=K*c^n

On cherche une solution particulière w de l'équation (S) de la forme
pour tout n>=0, w(n)=K(n)*c^n (la constante K devenant une suite)
En réinjectant cette expression dans (S), on obtient
v(n)=K(n+1)c^(n+1)-K(n)*c*c^n
v(n)=c^(n+1)*[K(n+1)-K(n)]
K(n+1)-K(n)=v(n)/c^(n+1)
En sommant cette égalité sur n variant de 0 à N-1, on obtient
K(N)-K(0) = som(k=0 à N-1, v(k)/c^(k+1)
et puisque l'on cherche une solution particulière, on peut supposer K(0)=0
Par conséquent, la suite K définie par
pour n>=1, K(n) = som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1)
donc pour tout n>=1,
u(n) = c^n*som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1))

Par conséquent, toute solution u de l'équation (S) est somme d'une solution
particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée (S0)
autrement dit
il existe une constante K réelle telle que pour tout n>=0,
u(n) = K*c^n + c^n*som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1))
= c^n*[K +som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1)) ]

Puisque la suite v tend vers 0, elle est bornée par une constante D

On suppose c1
On en déduit la majoration suivante, découlant de l'inégalité triangulaire
abs(som(k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1) ) =1,
abs[c^n*som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1))] 1 (donc 0=1, u(n) = c^n*som( k=0 à n-1, 1/[(k+1)*c^(k+1)]
La suite (som( k=0 à n-1, 1/[(k+1)*c^(k+1)]) est croissante (somme de termes
positifs) et l'encadrement
00 (son terme n=1 est >0)
donc la suite u est le produit d'une suite convergente par la suite (c^n)
qui tend vers l'infini donc la suite u tend vers l'infini

Si c=1, on peut toujours construire une suite u telle que
u(n+1)-u(n) = 1/(n+1)
En effet, il suffit de choisir
pour n>=1, u(n) = som( k=0 à n-1, 1/(k+1)] = som(k=1 à n, 1/k)
et cette suite est tend vers +oo (pour cela, il suffit de montrer que
ln(x+1)-ln(x)=ln(1+1/x)>=1/(x+1) (faire le tableau de variation de
ln(1+1/x)-1/x puis de déterminer sa limite en +oo
ensuite, on évalue en x=k et on somme sur k et on obtient que som(k=1 à n,
1/k) >= ln(n)

Conclusion :
u_n+1 - c*u_n tend vers 0 => (u_n) tend vers 0. ssi c (u_n) tend vers 0 ssi ( a=0 ou b=0 ou a<b )

*********************
http://www.mathematiques.fr.st
********************

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41C7F62F.70308@hotmail.com...
> Bonjour,
>
> j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cet exo concernant les
> suites. Je dois déterminer les couples (a,b) de réels positifs tels que
> pour tout suite réelle (u_n) on ait la propriété suivante :
> a*u_n+1 - b*u_n tend vers 0 => (u_n) tend vers 0.
>
> J'ai déjà pu montrer qu'une condition nécessaire était a > b, mais je
> n'arrive pas à montrer que c'est une condition suffisante. Un petit peu
> d'aide serait le bienvenu !

On élimine d'emblée les cas a=0 ou b=0 qui sont évidents.
On suppose maintenant a>0 et b>0
On peut également écrire ceci sous la forme u(n+1)-c*u(n)-->0 avec c=b/a>0
Tu poses (S) : pour tout n>=0, v(n)=u(n+1)-c*u(n)
On va exprimer u(n) en fonction des v(k).
Pour cela, on utilise la version discrète de la variation de la constante
pour les équations différentielles

On résout l'équation homogène
(S0) : pour tout n>=0, u(n+1)-c*u(n)=0
dont les solutions sont les suites géométriques de raison c
c'est-à-dire u(n)=K*c^n

On cherche une solution particulière w de l'équation (S) de la forme
pour tout n>=0, w(n)=K(n)*c^n (la constante K devenant une suite)
En réinjectant cette expression dans (S), on obtient
v(n)=K(n+1)c^(n+1)-K(n)*c*c^n
v(n)=c^(n+1)*[K(n+1)-K(n)]
K(n+1)-K(n)=v(n)/c^(n+1)
En sommant cette égalité sur n variant de 0 à N-1, on obtient
K(N)-K(0) = som(k=0 à N-1, v(k)/c^(k+1)
et puisque l'on cherche une solution particulière, on peut supposer K(0)=0
Par conséquent, la suite K définie par
pour n>=1, K(n) = som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1)
donc pour tout n>=1,
u(n) = c^n*som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1))

Par conséquent, toute solution u de l'équation (S) est somme d'une solution
particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée (S0)
autrement dit
il existe une constante K réelle telle que pour tout n>=0,
u(n) = K*c^n + c^n*som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1))
= c^n*[K +som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1)) ]

Puisque la suite v tend vers 0, elle est bornée par une constante D

On suppose c1
On en déduit la majoration suivante, découlant de l'inégalité triangulaire
abs(som(k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1) ) =1,
abs[c^n*som( k=0 à n-1, v(k)/c^(k+1))] 1 (donc 0=1, u(n) = c^n*som( k=0 à n-1, 1/[(k+1)*c^(k+1)]
La suite (som( k=0 à n-1, 1/[(k+1)*c^(k+1)]) est croissante (somme de termes
positifs) et l'encadrement
00 (son terme n=1 est >0)
donc la suite u est le produit d'une suite convergente par la suite (c^n)
qui tend vers l'infini donc la suite u tend vers l'infini

Si c=1, on peut toujours construire une suite u telle que
u(n+1)-u(n) = 1/(n+1)
En effet, il suffit de choisir
pour n>=1, u(n) = som( k=0 à n-1, 1/(k+1)] = som(k=1 à n, 1/k)
et cette suite est tend vers +oo (pour cela, il suffit de montrer que
ln(x+1)-ln(x)=ln(1+1/x)>=1/(x+1) (faire le tableau de variation de
ln(1+1/x)-1/x puis de déterminer sa limite en +oo
ensuite, on évalue en x=k et on somme sur k et on obtient que som(k=1 à n,
1/k) >= ln(n)

Conclusion :
u_n+1 - c*u_n tend vers 0 => (u_n) tend vers 0. ssi c (u_n) tend vers 0 ssi ( a=0 ou b=0 ou a<b )

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[Anonyme]

Masterbech a écrit:

> Pour cela, on utilise la version discrète de la variation de la constante
> pour les équations différentielles

[...]

Merci beaucoup pour cette solution détaillée. C'est sans doute un peu
long par rapport à la question initiale mais je trouve la méthode très
intéressante. C'est de plus idéal pour moi qui comptait revoir le
parallèle dans la résolution d'une équadiff du second d'ordre et d'une
suite définie par une équation (peut-on-dire ?) "de second ordre".
Je n'avais pas du tout pensé à une telle résolution et malgré la
longueur je trouve ca très joli. Je vais même le réecrire pour moi au
propre.


Merci beaucoup à toi.

--
albert