Suites et matrices.

[Dolly09]

Bonjour, j'ai un "petit" problème avec un DM de maths.

Voici l'énoncé :

On considère les suites réelles u et v définies par leur 1er terme u0=1 et v0=0 et les relations de récurrence :

un+1 = -1/4un - 1/2vn - 3/4
vn+1 = un + 5/4vn - 3/4

1) On pose : pour tout n E N, wn = un + vn +6
tn+1 = un + 1/2 vn + 3/2

Là on doit montrer que (wn) et (tn) sont des suites géométriques, on a déterminé wn et tn en fonction de n, on a étudié la convergence des suites, etc. C'est bon, j'ai trouvé.

2) (et c'est là que j'ai du mal...)

On note A la matrice carrée réelle d'ordre 2, B la matrice unicolonne réelle, définies par (je ne sais pas faire des grands crochets pour les matrices, j'espère que ça reste compréhensible) :

(un+1)= A (un) + B
(vn+1) (vn)

a) Expliciter A et B
Là, concrètement, je ne vois pas... Ca doit être tout simple mais ça me coince.

b) Soit P = (1 1). Montrer que P est inversible et déterminer son inverse.
(-1 -2)
Ca c'est ok.

c) Montrer que la matrice D = P^-1AP est diagonale

d) I étant la matrice carrée unité d'ordre 2, montrer que : P(D-I)P^-1 = A-I

e) En déduire que la matrice A-I est inversible et déterminer son inverse

f) Résoudre l'équation (A-I)X+B=0 où X=(x1) est la matrice réelle inconnue.
(x2)

g) Vérifier enfin que : X = (lim un quand n tend vers + l'infini)
(lim vn quand n tend vers + l'infini)

Merci de bien vouloir m'aider...

[alavacommejetepousse]

bonjour si tu vois pas

prends une matrice A avec ses coeffs a,b,c,d B colonne e,f produit
fais l opération
A multipliée par la colonne (un,vn) + B et vois quelles sont les valeurs de a,...f qui vont bien

[Dolly09]

Bonjour Alavacommejetepousse, merci pour la réponse...

En fait, je dois juste identifier les coefficients a b c d e et f, et ainsi trouver les matrices A et B, c'est cela?

Et donc, si je ne me suis pas trompée, ça donnerait

A = (-1/4 -1/2)
[INDENT](1 5/4) [/INDENT]

et B= (-3/4)
[INDENT] (-3/4)[/INDENT]

[alavacommejetepousse]

oui c est correct