Suites extraites

[AceVentura]

Bonjour,

j'ai un petit problème avec la réciproque d'une proposition :
on sait que si une suite converge vers un réel l, alors toute suite extraite de cette suite converge également vers ce même réel l.

La question est la suivante : que dire de la réciproque ? Je suppose que c'est certainement faux, mais ne trouve pas de contre-exemple.

[Doraki]

La réciproque est vraie.
(un) est une suite extraite de (un).

[AceVentura]

Effectivement ! Merci Doraki.

[Nightmare]

Si on remplace l'hypothèse "toute suite extraite converge vers un même réel" par "toutes les suites extraites convergentes convergent vers un même réel" (autrement dit, la suite n'a qu'une seule valeur d'adhérence) la question de savoir si la suite est alors convergente devient intéressante. Ce n'est pas tout le temps vrai, mais sur un métrique compact ça l'est par exemple (assez simple par Bolzano-Weierstrass).

Un peu plus difficile à montrer, c'est aussi vrai lorsque u(n) s'écrit de manière récursive sous forme u(n+1)=f(u(n)) avec f continue de R dans R par exemple.

[AceVentura]

Salut Nightmare, étant donné que je travaille sur [texd]\mathbb{R}[/tex], je suppose que cela est vrai ! C'est bien : toutes les suites extraites convergentes converge vers un même réel implique la suite converge ?

[Doraki]

Si on prend Un = n, ben y'a aucune suite extraite convergente, donc il est stupidement vrai que toutes les suites extraites convergentes convergent vers un même réel (à savoir 12).
Mais (Un) n'est pas convergente.
=/

[Nightmare]

Mouai ! :id2:

[AceVentura]

Comment ça 12 ?

[Doraki]

Ben parceque toutes les sous-suite convergentes de (Un = n) convergent vers 12.

[Finrod]

Lol, j'aurais plutôt dit 42.

Ace, si toutes les sous suite convergente ont la même limite, pour que la suite converge, il faut qu'elle soit borné (car dans R, fermé borné = compact).

[AceVentura]

J'ai pas compris le 12 !

[Finrod]

C'est une private joke.

IL n'y a aucune sous(suite convergente. Donc l'ensemble des sous-suite convergente de cette suite est

Or l'ensemble vide étant vide, ses éléments vérifient toutes les propriétés existantes. (eux même n'existant pas).

Donc on peut dire que toutes ses sous suite sont des champignons des bois convergent vers des schtroumpf agnostiques jouant de la flute au bord du lac Titicaca. Ce ne sera pas faux.

[AceVentura]

Bon, si c'est une joke, c'est pas sympa ! J'ai rien capté !

[Nightmare]

Doraki a simplement mis le doigt sur le fait qu'une suite qui n'a aucune sous-suite convergente a en particulier toute ses sous-suites convergentes vers un même réel puisqu'aucune ne converge. Comme l'a dit Finrod, toute propriété commençant par est logiquement vraie.

Bref, tout ça pour dire que mon hypothèse "toutes les suites extraites convergentes convergent vers un même réel" devrait être remplacée par "Si les sous-suites convergent, elles convergent vers la même limite"

:happy3: