les propriétés des développements dyadiques (en base 2) des réels
est-ce que l'on pourrait tirer parti des courbes suivantes:
la courbe de
en dyadique,
et l'aire au dessus de la courbe vaut
donc le complemént à 1 de l'aire précédente, soit
Ensuite, on peut découper le pavé [0;1]x[0;1] en pavés dyadiques
[k 2^{-n}, (k+1)2^{-n}] sur l'axe des x et l'axe des y,
d'aires
Une somme finie de tels pavés va approcher les aires en dessous et au dessus de la courbe.
l'idée, c'est que la courbe fait jouer un rôle identique aux 0 et aux 1
du développement dyadique de
et que le comportement asymptotique des 0 et des 1 , leur répartition
est donné par l'allure de la courbe.
En effet, les "1" du développement en série (restes à partir d'un certain rang) correspond à la mesure d'aire entre la courbe de f et une fonction en escalier d'intégrale une somme finie de pavés (en dessous) .idem pour les "0" au dessus. l'aire au dessus de la courbe est mesurée de la même façon, seuls les "0" sont pris en compte à cause du complément à 1.
Le problème c'est de quantifier tout cela.
Pour les décimales dyadiques de
croissante de 0 à 1 sur le pave [0;1]x[0;1].
en effet
Cette courbe présente un point d'inflexion et deux tangentes
horizontales.
Le comportement asymptotique des 0 et des 1 du développement dyadique de
On peut subodorer que le développememnt dyadique de
est plus complexe que celui de
car la courbe de
???
en tous cas, si vous avez différentes fonctions
h monotone
, je suis preneur, pour voir ce que les courbes de ces fonctions ont de commun.