Sous-groupe

[jeje56]

Soit (G,+) groupe commutatif d'ordre N=mp^r avec (m,r) dans N^2 et p premier ne divisant pas m.
Soit H = {x de G, il existe k / p^k.x=0} dont l'ordre est une puissance de p ;

MQ H est un sous-groupe de G : je ne vois pas comment procéder avec la loi + :
* H inclus ds G
* 0(G) est ds H
* Soient a et b dans H : p^k.a=0 et p^k'.b=0
Comment MQ a-b est ds H?...

Merci d'avance...

[klevia]

salut je vais partager le travail en 2 parties:
1) soit a et b appartenant à H, montrons que a+b appartient à H

a appartient à H donc il existe K tel que p^k.a=0
B appartient à H donc il existe k' tel que p^k'.b=0

soit k''= ppcm(k,k')

p^k''(a+b)=p^k''.a + p^k'.b car G est commutatif
= 0 + 0 = 0 d'où a+b appartient à H
2) soit a appartenant à H, montrons que (-h) appartient à h.

a appartient à H donc il existe K tel que p^k.a=0

p^k.(-a) = -(p^k.a)=0
d'ou - a appartient à H
et H sous gpe.

[jeje56]

Merci bcp, c'était simple finalement... Il fallait penser au ppcm... ;-)

[yos]

soit k''= ppcm(k,k')

Remplace ppcm par max