Sous-groupe

[jeje56]

Soit n entier > 0 et d diviseur de n. MQ l'ensemble des x de Z/nZ tels que dx=0 est un sous groupe de Z/nZ. MQ il a d éléments.

Première partie réussie.
Pr la deuxième, je sais que si n est l'odre d'un ss groupe, alors pr tt x de ce ss groupe nx=0. Mais la réciproque est-elle vraie? Sinon comment procéder?

Merci d'avance !

[jeje56]

Personne?...

[aviateurpilot]

(A={0},+) est un sous groupe de (Z/NZ,+) et
on a pas forcement l'ordre de A c'est 2.

[AngeBlanc]

Appelons F l'ensemble des x tels que dx = 0 dans Z/nZ.
C'est exactement l'ensemble des x tels que dx soit un multiple de n.

Soit k tel que n = dk (dans N).

L'ensemble des dx ,x dans F, est donc l'ensemble des mn, m dans N.
L'ensemble des x ,x dans F, est donc l'ensemble des mn/d, m dans N.
L'ensemble des x ,x dans F, est donc l'ensemble des mk, m dans N.

Or, mdk = 0 car mdk = mn = 0 (dans Z/nZ).

Donc l'ensemble des x de la forme mhk avec 0<= h < d est un système de représentants de F ( d est l'entier tel que n = dk, donc le plus petit entier positif non nul h pour que mhk soit nul est k).

mhk = m(h+d)k dans Z/nZ
car mhk = mhk + mdk = mhk + mn = mhk dans Z/nZ.

Or, parcourir mhk avec 0<=h