Sous-groupe

[jeje56]

MQ si (G,x) est commutatif, les éléments d'ordre fini forment un sous-groupe de G

Je dis :
Soit H l'ensemble des éléments d'ordre fini de G

- H inclus dans G (évident)
- OG^1=1 donc 0G appartient à H
- Soit x et y de H : ord(x)=n et ord(y)=m
Ici je n'arrive pas à finir :
(xy)^(n+m)=x^(n+m)*y^(m+n) (G commutatif)
=x^n*x^m*y^n*y^m=x^m*y^n... (=1?...)

Merci d'avance...

[legeniedesalpages]

Bonjour,

donc , d'où est fini, donc .

[jeje56]

Je ne vois pas : ord((xy)^nm)=0... pourquoi?

[alben]

Ici je n'arrive pas à finir :
(xy)^(n+m)=x^(n+m)*y^(m+n) (G commutatif)

mais
et idem pour y
Tu avais presque fini :we:

[jeje56]

Oui merci ;-)

Il me reste à montrer la stabilité pour l'inverse :

Soit x de H, ord(x)=n
(x^-1)^n=x^-n... ?

[legeniedesalpages]

oui

pour tout entier .

[jeje56]

Dac, merci ;-)