Sous-groupe de k*

[simplet]

Bonsoir,

J'aimerai montrer que si k est un corps, alors tout ssgroupe fini de k* est cyclique.

J'y arrive quans k est un corps fini, mais je n'arrive pas à "dévier" sur cet énoncé...

merci de votre aide

[simplet]

hum...
et si je prenais H le ssgrp fini, d'ordre n. il est abélien donc peut s'écrire comme un produit de avec n_i divisant n_{i+1}
(classification des groupes abelien fini non??)

posons n_r le plus grand d'entre eux, reste a montrer n_r égale n ...

(c'est pas betes, mais un peu bizzare)...

[simplet]

ouai.. je pense que c'est bon dis donc!!

Il reste a montrer n_r = n .
n_r est l'exposant de H, ie x^(n_r) =1 et x^(n_i) différent de 1 pour i
Il suffit ensuite de considerer le polynome X^(n_r)-1 pour conclure!!!!

:zen: :zen:

[yos]

Le fait que n_r est exposant de H n'est pas clair. Et même ainsi c'est pas fini. En principe la preuve pour un corps fini s'adapte sans problème au cas d'un sous-groupe fini de k*. Quelle preuve connais-tu de ce résultat?

[simplet]

en fait j'ai adapté au mot pres la preuve, je me ss rendu compte qe ca marchait.
Je te l'a refait (peut etre plus clairement) dans le cas k fini (q éléments) , mais j'ai l'impression que c'est la meme...

k* est un groupe abelien d'ordre q-1.
D'apres le theoreme de classification on peut ecrire k* isomorphe à un produit de , avec divisant et notons le plus grand d'entre eux.

est l'exposant de k*, ie et différent de 1 pour tout x dans k*, i<r.

En considérant le polynome ; tous les elements de k* en sont racines donc q-1<= .. mais divise q-1 (car )
donc n=q-1

finalement k* isomorphe a Z/(q-1)Z.

ET voila!!

Et pour l'énoncé initiale j'ai considérer un ssgrp H fini (et abelien ) de k*... et la meme preuve fonctionnait!! (non?) (merci)

[yos]

Oui c'est bien. Il y a d'autres preuves, qui ne nécessitent pas le théorème de décomposition des groupes abéliens.