Sous groupe

[chombier]

Bonjour,

Il y a une question sur la définition des sous-structures (groupes, espaces vectoriels et anneaux pour le moment) que je me pose depuis longtemps, et j'aimerais avoir des avis.

Prenons l'exemple de la définition d'un sous-groupe : Soit un groupe.
Soit . On dit que H est un sous-groupe de G ssi :

• 
• 
• 

Cette définition est-elle équivalent à celle-ci ?
H est un sous-groupe de G ssi :

• 
• est un groupe (* garde le même non mais c'est une loi de HxH sur H induite par la loi * de GxG sur G)

Les sous-groupe de G seraient donc les sous ensemble de G qui conservent la structure de groupe.

La seconde définition me parait la définition "naturelle" d'un sous groupe : on se demande quels sous ensembles de G sont des groupes. La première définition en serait alors une conséquence.

Mais si j'ai raison, pourquoi aucun livre ne présente les propriétés dans l'ordre qui me parait naturel ?
Pourquoi la plupart affirment simplement que : si H est un sous groupe de G, alors (H, *) est un groupe, et pas la réciproque, à savoir que si H est inclus dans G et que (H, *) est un groupe, alors H est un sous-groupe de G ?

Je me pose évidemment la même question sur les espaces vectoriels et les anneaux, dont voici les définitions revisitées (à vérifier, je doute encore) :

(E, +, .) est un K-espace vectoriel. F est un sous-espace vectoriel de E ssi :

• 
• est un K-espace vectoriel

(A, +, .) est un anneau. B est un sous-anneau de A ssi :

• 
• est un anneau

Ca me parait tellement plus naturel comme définition. Alors :
- sont-elles justes ?
- si oui, pourquoi ne pas les utiliser plutôt qu'une liste de propriétés équivalente qui finalement en découle ?

[L.A.]

Bonjour,

je vois ce que tu veux dire, et c'est bien ça l'idée cachée derrière la définition de sous-groupe, mais ta définition a un problème : en écrivant "(H,*)" tu sous-entends déjà que * induit une loi interne sur H, autrement dit que x et y dans H implique xy dans H. Si on explicite tout, ta définition devrait être

- H non vide
- x,y dans H implique xy dans H
- (H,*) est un groupe

Et là clairement la dernière condition est équivalente à "x dans H implique x^{-1} dans H" (sous les deux premières conditions), condition a priori plus légère (l'associativité, c'est lourd...). Du coup, même si tout ce qu'on demande à un sous-groupe finalement c'est d'être un groupe, je penche plutôt en faveur de la définition des bouquins.

[chombier]

Bonjour,

je vois ce que tu veux dire, et c'est bien ça l'idée cachée derrière la définition de sous-groupe, mais ta définition a un problème : en écrivant "(H,*)" tu sous-entends déjà que * induit une loi interne sur H, autrement dit que x et y dans H implique xy dans H. Si on explicite tout, ta définition devrait être

- H non vide
- x,y dans H implique xy dans H
- (H,*) est un groupe

Et là clairement la dernière condition est équivalente à "x dans H implique x^{-1} dans H" (sous les deux premières conditions) qui est a priori plus légère (l'associativité, c'est lourd...). Du coup, même si tout ce qu'on demande à un sous-groupe finalement c'est d'être un groupe, je penche plutôt en faveur de la définition des bouquins.

Je vais défendre ma paroisse, si je m'enfonce dans l'erreur, peu importe, je veux juste mettre le doigt dessus :

Pour moi, dire que (H, *) est un groupe implique déjà (de part la définition d'un groupe) que :

• H est non vide (puisqu'il doit posséder un élément neutre)
• H est un magma (i.e. que H est stable par *, ou que * est une loi de composition interne pour H)

Je donne la définition d'un groupe que j'ai retenue :
Le couple (G, *) est un groupe ssi :

• G est un ensemble
• * : GxG -> G est une loi de composition interne sur G
  
• * est associative
  
• * possède un élémént neutre
  
• tout élément de G possède un inverse pour *
  

Bon, je sens bien que je fait du mal aux mouches... mais j'aurais aimé aboutir à une définition du style :
- Si (E, *, +, ...) est une structure algébrique, un ensemble F inclus dans E est une sous-structure de E si et seulement si (F, *, +, ...) a la même structure algébrique que E.

Et pouvoir remplacer structure par groupe, anneau, K-espace vectoriel, corps, etc.

[Ben314]

Salut,
Il y a effectivement, en algèbre, systématiquement équivalence entre les définition classique de "sous-truc" est le fait que le sous ensemble en question, muni de la même structure soit lui même un "trucs" à condition... de mettre ce qu'il faut dans le terme "structure".
Plus précisément, si tu veut que ça marche à tout les coups, il faut aussi mettre les "éléments particuliers" dans la structure, c'est à dire qu'un groupe c'est (G,x,1G), qu'un anneau c'est (A,+,x,0A,1A), etc...
Pour te montrer où se situe le problème, il suffit de considérer l'anneau unitaire et la partie constituée des matrices de la forme . Il est immédiat que (B,+,x) est lui aussi un anneau unitaire, mais l'élément neutre du produit sur , à savoir n'est pas le même que le neutre du produit sur . Dans ce cas, on considère que n'est pas un "sous anneau unitaire de A". Par contre, si on veut être vicieux, on peut dire que B est un sous anneau de A et qu'il est effectivement unitaire donc on peut dire que B est un "sous anneau de A qui est unitaire".
Bilan : si tu vérifie uniquement que (B,+,x) est un anneau unitaire, tu aura montré que B est un "(sous anneau de A) unitaire" et pas que c'est un "sous (anneau unitaire) de A".

Après, il est intéressant de voir que, pour un certain nombre de structures, il n'y a pas de différence.
Par exemple pour les groupes, si (G,x) est un groupe et que H est une partie de G telle que (H,x) soit aussi un groupe alors le neutre de H est forcément le même que celui de G.
Par contre, ce n'est pas vrai pour les anneaux, mais il suffit que le neutre de l'anneau tout entier soit un élément de la partie en question pour qu'on soit sûr que c'est le neutre de la partie en question.

EDIT : je viens d'aller jeter un coup d'œil là
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-anneau
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_unitaire
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-anneau
ce qui me permet de préciser que je fait parti de ceux (considérés comme "minoritaires" par wiki.) pour qui un anneau n'est pas forcément unitaire donc si tu veut, dans ce qu'il y a au dessus, tu peut chager :
Anneau (moi) Pseudo-Anneau (wiki)
Anneau unitaire (moi) Anneau (wiki)

[paquito]

Bonjour,

pour les sous groupes, on utilisait la définition suivante:

Soit un groupe et H une partie de:

est un sous groupe de (G,*) ssi

H est non vide,

,


en effet, pour (et e est l'élément neutre decar

pour (, =

enfin pour

C'est uniquement la définition la plus rapide pour prouver qu'on a un sous, mais bien sûr tous les sous groupes de (G,*) sont aussi les groupes inclus dans G

[chombier]

Salut,
Il y a effectivement, en algèbre, systématiquement équivalence entre les définition classique de "sous-truc" est le fait que le sous ensemble en question, muni de la même structure soit lui même un "trucs" à condition... de mettre ce qu'il faut dans le terme "structure".
Plus précisément, si tu veut que ça marche à tout les coups, il faut aussi mettre les "éléments particuliers" dans la structure, c'est à dire qu'un groupe c'est (G,x,1G), qu'un anneau c'est (A,+,x,0A,1A), etc...
Pour te montrer où se situe le problème, il suffit de considérer l'anneau unitaire et la partie constituée des matrices de la forme . Il est immédiat que (B,+,x) est lui aussi un anneau unitaire, mais l'élément neutre du produit sur , à savoir n'est pas le même que le neutre du produit sur . Dans ce cas, on considère que n'est pas un "sous anneau unitaire de A". Par contre, si on veut être vicieux, on peut dire que B est un sous anneau de A et qu'il est effectivement unitaire donc on peut dire que B est un "sous anneau de A qui est unitaire".
Bilan : si tu vérifie uniquement que (B,+,x) est un anneau unitaire, tu aura montré que B est un "(sous anneau de A) unitaire" et pas que c'est un "sous (anneau unitaire) de A".

Après, il est intéressant de voir que, pour un certain nombre de structures, il n'y a pas de différence.
Par exemple pour les groupes, si (G,x) est un groupe et que H est une partie de G telle que (H,x) soit aussi un groupe alors le neutre de H est forcément le même que celui de G.
Par contre, ce n'est pas vrai pour les anneaux, mais il suffit que le neutre de l'anneau tout entier soit un élément de la partie en question pour qu'on soit sûr que c'est le neutre de la partie en question.

EDIT : je viens d'aller jeter un coup d'œil là
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-anneau
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_unitaire
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-anneau
ce qui me permet de préciser que je fait parti de ceux (considérés comme "minoritaires" par wiki.) pour qui un anneau n'est pas forcément unitaire donc si tu veut, dans ce qu'il y a au dessus, tu peut chager :
Anneau (moi) Pseudo-Anneau (wiki)
Anneau unitaire (moi) Anneau (wiki)

L'exemple sur les matrices est très parlant. Je ne pensais pas qu'on pouvait avoir un sous ensemble d'un anneau unifère qui soit un anneau unifère mais qui n'ait pas le même élément neutre !! Ca change tout.

Parce que par sous-structure, on entends pas seulement sous ensemble avec une structure similaire pour les lois induites, mais aussi mêmes éléments neutres pour ces mêmes lois.

Il se trouve que pour les groupes et les pseudo-anneaux, c'est pareil, mais ce sont des cas particuliers.

Merci encore Ben

[chombier]

Je me permet de corriger les erreurs de latex dues à la migration de ce message de Ben314.

Pour mémoire, ceci est un exemple d'anneau (A,+,.) dont un sous ensemble est un anneau muni des lois induites mais n'est pourtant pas un sous-anneau de A.

Salut,
Il y a effectivement, en algèbre, systématiquement équivalence entre les définition classique de "sous-truc" est le fait que le sous ensemble en question, muni de la même structure soit lui même un "trucs" à condition... de mettre ce qu'il faut dans le terme "structure".
Plus précisément, si tu veut que ça marche à tout les coups, il faut aussi mettre les "éléments particuliers" dans la structure, c'est à dire qu'un groupe c'est (G,x,1G), qu'un anneau c'est (A,+,x,0A,1A), etc...
Pour te montrer où se situe le problème, il suffit de considérer l'anneau unitaire et la partie constituée des matrices de la forme . Il est immédiat que (B,+,x) est lui aussi un anneau unitaire, mais l'élément neutre du produit sur , à savoir n'est pas le même que le neutre du produit sur . Dans ce cas, on considère que n'est pas un "sous anneau unitaire de A". Par contre, si on veut être vicieux, on peut dire que B est un sous anneau de A et qu'il est effectivement unitaire donc on peut dire que B est un "sous anneau de A qui est unitaire".
Bilan : si tu vérifie uniquement que (B,+,x) est un anneau unitaire, tu aura montré que B est un "(sous anneau de A) unitaire" et pas que c'est un "sous (anneau unitaire) de A".

Après, il est intéressant de voir que, pour un certain nombre de structures, il n'y a pas de différence.
Par exemple pour les groupes, si (G,x) est un groupe et que H est une partie de G telle que (H,x) soit aussi un groupe alors le neutre de H est forcément le même que celui de G.
Par contre, ce n'est pas vrai pour les anneaux, mais il suffit que le neutre de l'anneau tout entier soit un élément de la partie en question pour qu'on soit sûr que c'est le neutre de la partie en question.

EDIT : je viens d'aller jeter un coup d'œil là
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-anneau
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_unitaire
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-anneau
ce qui me permet de préciser que je fait parti de ceux (considérés comme "minoritaires" par wiki.) pour qui un anneau n'est pas forcément unitaire donc si tu veut, dans ce qu'il y a au dessus, tu peut chager :
Anneau (moi) Pseudo-Anneau (wiki)
Anneau unitaire (moi) Anneau (wiki)