Sous groupe d'un corps

par **RadarX** » 18 Aoû 2006, 12:00

Bonjour,

Tout sous groupe du groupe multiplicatif d'un corps commutatif K serait cyclique.
Quelqu'un aurait-il une démo ou des indications?

* J'ai pensé au morphisme canonique f: Z ------> K (n ---> n.1) pour aboutir pas decomposition canonique (1r thm d'isomorphisme) a etablir le schema suivant:

f: Z ------> K
| |
| |
Z/dZ --~~-> f(Z) = H~cqqui prouverait que H est cyclique mais...

* J'ai aussi pensé a l'autre morphisme g: Z ---> K/H (n ---> n.1 H) mais bon....merci des contributions.

par **tize** » 18 Aoû 2006, 12:31

Le corps dont tu parles ne serait-il pas quand même fini ?

par **RadarX** » 18 Aoû 2006, 13:03

tize a écrit:Le corps dont tu parles ne serait-il pas quand même fini ?

Euh pardon, c'est le sous groupe multiplicatif du corps qui est fini; mais le corps lui meme est quelconque et commutatif.

par **tize** » 18 Aoû 2006, 13:13

Il existe plusieurs solution à ce problème qui consiste à montrer en premier lieu que le groupe commutatif fini (G*,x) est cyclique et conclure avec le fait qu'un sous groupe d'un groupe cyclique est lui même cyclique. L'une des méthodes utilise l'indicatrice d'Euler, une autre utilise la propriété : "dans un corps le nombre de racines du polynome (X^n-1) a au plus n solutions en considérant un élément d'ordre maximum...
Ce sont des indications ce n'est pas immédiat.

par **RadarX** » 18 Aoû 2006, 13:27

tize a écrit:montrer en premier lieu que le groupe commutatif fini (G*,x) est cyclique et conclure avec le fait qu'un sous groupe d'un groupe cyclique est lui même cyclique.
L'une des méthodes utilise l'indicatrice d'Euler, une autre utilise la propriété : "dans un corps le nombre de racines du polynome (X^n-1) a au plus n solutions en considérant un élément d'ordre maximum...
Ce sont des indications ce n'est pas immédiat.

Je repete le pb:
"Tout sous groupe fini H du groupe multiplicatif d'un corps commutatif K serait cyclique."
* Je n'ai jamais dit que K* (au lieu de G dont je ne sais ce que c'est) etait fini.
* Pour l'indicatrice d'Euler, tu as raison de dire que ce n'est pas immediat car je ne vois pas.
* Enfin pour la theorie des racines d'un polynome, je regarde ca!

Merci

par **tize** » 18 Aoû 2006, 18:49

De retour !
Mille excuse pour avoir appelé

ton corps

...
Soit donc

un sous groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif

. Je te propose dans l'ordre pour la méthode 2 :

1) Montrer l'existence d'un élément

d'ordre maximum

dans

.
2) Montrer que pour tout élément

, l'ordre de

divise

.
3) Conclure avec avec ma remarque sur le nombre de racines du polynome

par **tize** » 18 Aoû 2006, 19:13

Si jamais tu t'intéresses à la première méthode avec l'indicatrice d'Euler

tu dois d'abord montrer au préalable la formule suivante : pour tout entier

Sous groupe d'un corps

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