Sous-Espaces Vectoriels

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici une démonstration su laquelle je bloque :

Soit E1, E2 … En, n sous espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E (n>=2)
Mq que les 2 propositions sont équivalentes :
(1) E1 + E2 + … + En est une somme directe
(2) E1 + E2 + … + E(n-1) est une somme directe et [E1 + E2 + … + E(n-1)] En = 0E

Traduction de la proposition (1) : On a la somme des xi=0E => pour tout i [1,n], xi=0E
Mais je ne sais pas quoi faire avec ça..

Pouvez vous m'aider
Merci d'avance

[Robot]

Pourquoi ne traduis-tu pas aussi la propriété 2 ?
A l'aide de ces traductions, tu pourras montrer que 1 entraîne 2, et que 2 entraîne 1.

[Maths-ForumR]

Traduction de la propriété (2) :
On a la somme des xi=0E => pour tout i [1,n-1], xi=0E
et
[E1 ... E(n-1)] et En sont supplémentaire .

La démonstration de (2) => (1) est plus simple a prouvé que (1) => (2) non ?

[Robot]

Il y a à redire sur tes traductions :
1°) Il est indispensable de préciser sur quel ensemble d'indices portent les sommes : d'autant plus que pour l'une c'est {1,...,n-1} et pour l'autre {1,...,n}
2°) Tu traduis E F={0} par "E et F sont supplémentaires". C'est faux.
Revois ça et essaie de démontrer les deux implications. Il n'y a pas vraiment une plus difficile que l'autre, alors retrousse-toi les manches et vas-y !

[Maths-ForumR]

Mais je ne vois pas comment commencer pour démontrer les implications

[Robot]

Pour 1) entraîne 2)
On suppose que la somme est directe.
Montrons que la somme est directe.
Soient pour tels que . Alors (ici un argument qui utilise l'hypothèse que est directe) ... . Donc .
Montrons que . Soit . Alors (ici un argument qui utilise l'hypothèse que est directe) ... . Donc .

[Maths-ForumR]

Le premier argument est que :

Si E1+ .. +En en somme directe alors, la somme des xi=0E => pour tout i [1,n], xi=0E
Soit la somme des xi=0E => pour tout i [1,n-1], xi=0E

C'est bien ça ?

[Robot]

Je t'ai déjà écrit que l'on doit préciser l'ensemble d'indices sur lequel on somme. Rebelote, tu ne fais pas. Lis-tu mes remarques ?

[Maths-ForumR]

Je t'ai déjà écrit que l'on doit préciser l'ensemble d'indices sur lequel on somme. Rebelote, tu ne fais pas. Lis-tu mes remarques ?

Si E1+ .. +En en somme directe alors, la somme des xi=0E => pour tout i [1,n], xi=0E
Soit la somme des xi=0E => pour tout i [1,n-1], xi=0E

L'écriture en gras correspond a l'ensemble des indices sur lesquels on somme.

[alphamethyste]

ce petit merdeux de Zigomatique pense qu'il va faire la loi ici

http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=1104473#post1104473

lolll fais gaffe mec, tu fais juste pas le poids

[Robot]

Tu appliques l'hypothèse qui concerne une somme portant sur les indices 1,...,n à une somme portant sur les indices 1,...,n-1 : ca ne va pas de soi, il faut dire quelque chose !

[Maths-ForumR]

Il faut préciser que n>=2

[Robot]

Tu passes complètement à côté. Comment appliques-tu l'hypothèse qui concerne les sommes sur {1,...,n} à une somme portant sur {1,...,n-1} ?

[Maths-ForumR]

Faut il faire un changement d'indice ? Sinon je ne sais pas

[Robot]

Un changement d'indices ne fera pas passer d'une somme à n-1 termes à une somme à n termes. Il faut ajouter un terme, aussi inoffensif que possible.

[Maths-ForumR]

Si E1 + E2 + … + En est une somme directe
alors On a la somme des xi=0E => pour tout i [1,n], xi=0E

Donc on peut ajouter xn =0 a la somme des xi de 0 à n-1

[Robot]

Ben voila ! (on a bien .)
Pas plus compliqué que cela, mais encore fallait-il l'écrire explicitement.

[Maths-ForumR]

Très bien donc maintenant il faut montrer que En appartient à 0

Or traduction de x appartient a [E1 + E2 + … + E(n-1)] En : x appartient a la fois a [E1 + E2 + … + E(n-1)] et a En.

Donc pour tout x appartenant a [E1 + E2 + … + E(n-1)] En, x=0 car En contient uniquement xn=0

[Robot]

Ca ne va pas, dès la première phrase
"il faut montrer que En appartient à 0"
qui ne veut rien dire.
Va voir là-bas et force-toi à n'écrire que des choses dont tu comprends bien le sens.