Sous espaces vectoriels

[florian36]

Bonjour,

Je travaille sur les espaces vectoriels et je m'interroge sur ces deux sous ensembles :
,
avec
comment montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel, je n'ai pas trouvé un contre exemple.

Même question avec

Je vous remercie

[mathelot]

le souci, c'est que les deux espaces sont des espaces vectoriels sur R
montre qu'ils sont stables par combinaisons linéaires:

si si deux réels


pour le (2) , c'est l'ensemble des fonctions intégrables au sens de Stieltjes sur un intervalle compact. ça a des liens avec les fonctions réglées et les fonctions à variations bornée.

[Robic]

Je ne comprends pas le deuxième ensemble. S'agit-il de l'ensemble des fonctions qui peuvent s'écrire sous forme f-g avec f et g croissantes ? J'ai l'impression que toute fonction peut s'écrire ainsi.

L'idée, c'est que si u est une fonction, soit I la partie de son ensemble de définition où elle est croissante, soit J celle où elle est décroissante, alors on définit :
- f = 2u sur I, -u sur J ;
- g = u sur I, -2u sur J ;
par définition de I et J, f et g sont croissantes, et f-g = u sur I U J donc sur quasiment son ensemble de définition (quasiment parce que je crois que ça exclut les points où le sens de variation change, mais en ces points on peut prendre l'une ou l'autre définition de f et g, donc peu importe).

[mathelot]

Je ne comprends pas le deuxième ensemble. S'agit-il de l'ensemble des fonctions qui peuvent s'écrire sous forme f-g avec f et g croissantes ? J'ai l'impression que toute fonction peut s'écrire ainsi.

ce n'est qu'une impression.
i)Il existe des fonctions qui ne sont pas mesurables (au sens de Lebesgue).
ii) n'appartient pas à E.

iii)

soit et
si

[mathelot]

pour la (2), il s'agit des fonctions à variation bornée sur un intervalle.

- c'est un e.v (K=R)
- la notion a été inventée pour la convergence des séries de Fourier
- on montre que ce sont les fonctions "différence de deux fonctions croissantes".

lire ici

[Robic]

OK, merci !