Sous espaces vectoriels

[Anonyme]

Bonsoir tout le monde,

Je viens de commencer le cours sur les sous espaces vectoriels, espaces vectoriels, etc...

J'ai face à moi un exercice de ce type :

Dire pour les cas suivants, si les groupes sont ou non des espaces vectoriels sur R, en relation avec les opérations élémentaires définies sur ces groupes.

Par exemple : tous les polynômes réels ax^2 + bx + c dont le produit des coefficients est nul.

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Comment se lancer précisément dans ce type d'exercices ? Dois-je simplement vérifier si l'addition, et la multiplication par un scalaire est définie pour ce groupe ? Si oui, alors c'est un espace vectoriel ? Car le cours parle de plus de propriétés encore à vérifier, mais ça me paraît bizarre de devoir faire tout ça pour une question comme ça..

Merci bien

[lionel52]

Comment se lancer précisément dans ce type d'exercices ? Dois-je simplement vérifier si l'addition, et la multiplication par un scalaire est définie pour ce groupe ?




exact :) ton ensemble est une partie d'un espace vectoriel, celui des polynomes réels ou celui des applications de R dans R donc tu as juste à vérifier si oui ou non c'est un sous espace vectoriel

En règle générale tu montre jamais qu'un truc est un sev avec les 50000 propriétés à vérifier que personne ne connait

[Anonyme]

Ok, merci pour la réponse.

Je vais essayer comme ca et je vous tiens au courant ! :)

[Anonyme]

@Vie89

Pour information :

(E, + , • ) est un EV sur un corps K ( généralement Q , IR ou C ) ssi

1) (E,+) est un groupe abélien (et les éléments de E sont appelés des "vecteurs")

2) la loi externe • est une loi de K × E E qui vérifient une listes de propriétés

Soit u , v 2 "vecteurs" de E et soit , µ 2 "scalaires" (c'est à dire des éléments de K)

2.a) •( u + v ) = ( • u ) + ( •v )
2.b) ( + µ ) • u = ( • u ) + ( µ • u )
2.c) (;);)) • u = • ( µ • u)
2.d) 1 • u = u

ps)
Il n'est pas nécessaire de vérifier que ces propriétés sont vraies "à gauche" ET "à droite" si le corps K est commutatif (ou abélien)

Remarque :
"Dans le même genre" , on peut définir ce qu'on appelle "une structure algébrique"
à partir d'un anneau abélien (ou d'un corps abélien) ( E , + , x )

[Mathusalem]

Des fois il est possible de voir très vite qu'une propriété ne va pas, au lieu de tester toutes les propriétés unes à unes.

Ici, tu en choisissant bien tes deux polynômes appartenant à l'ensemble, tu peux voir très vite que l'addition n'est pas satisfaite.

[Anonyme]

Des fois il est possible de voir très vite qu'une propriété ne va pas, au lieu de tester toutes les propriétés unes à unes.

Ici, tu en choisissant bien tes deux polynômes appartenant à l'ensemble, tu peux voir très vite que l'addition n'est pas satisfaite.

Ca marche . Je vais tester tout ça.

Merci à tous pour vos réponses, j'y vois maintenant plus clair.

A bientôt

[Anonyme]

Bonsoir,

Alors pour l'exo sur les polynômes, je crois avoir réussi, j'ai choisis par exemple x^2 + x et x+1, ça a suffit à montrer que la somme des deux polynômes n'appartenant pas au groupe.

Maintenant, j'ai ceci :

Toutes les fonctions réels f(x) tel que : f(2)-f(1) = 0.

Pour dire si ça c'est ou non un espace vectoriel, je choisis par exemple f1(x) et f2(x). Et ensuite comment prouver la somme et le scalaire avec ce qui est donné ? J'ai un peu de mal.

Pour 0, pas de soucis la fonction 0 vérifie la propriété.

Merci.

[Anonyme]

@Vie89

Pour vérifier que la loi + est une loi interne

il faut démontrer que :

SI et sont 2 fonctions quelconques qui vérifient la "relation donnée"

ALORS la fonction vérifie la "relation donnée"