Sous espaces vectoriels polynomials

[janor]

Bonjour!!
Voici l'énoncé qui me casse la tête depuis un moment...:

E=Cinfini (IR,IR) (fonctions infiniment dérivables de dérivée n-ième continue)
R2[x], l'ensemble des polynômes de degré <3
G2={f dans E | f(0)=f'(0)=f''(0)}

Ayant montré que R2[x] et G2 sont des SEV de E, il faut à présent que je montre qu'ils sont supplémentaires dans E. J'ai réussi à monté qu'ils étaient en somme directe cependant, je n'arrive pas à montrer que R2[x]+G2=E (ce qui revient à montrer l'inclusion E c (R2[x] + G2) ).

Pour cela, je ne sais pas si trouver les bases respectives de R2[x] et G2 me serait utile (et de toutes façons, j'ai essayé: je n'y arrive pas...).

Merci d'avance pour votre aide!

[L.A.]

Bonjour,

à mon avis, il est plus clair de passer par les projections, dans un premier temps.
Soit p(f) = ax^2+bx+c dans R_2[x] le projeté selon la direction G_2 d'un élément f de E sur R_2{x].
alors f-p(f) appartient G_2 : à quel condition sur a,b,c cette affirmation est-elle vraie ?

Remarque : G_2 est de dimension infinie, il va être difficile d'en trouver une base...

[janor]

"Le projeté selon la direction G_2 " o_O
Je ne comprends pas...

[L.A.]

"Le projeté selon la direction G_2 " o_O
Je ne comprends pas...

Ce n'est pas important, tu ne l'as peut-être pas encore vu en cours...

Soit f dans E. On souhaite montrer que f peut s'écrire f = g + ax^2+bx+c avec g dans G_2 et a,b,c dans R.
(g,a,b,c étant uniques d'après la conclusion)

Comment choisir a,b,c de sorte que g = f - ax^2-bx-c soit un élément de G_2 ?
Il faut premièrement que g(0)=0, qu'est-ce que cela entraîne sur a,b,c ?

[janor]

Il faut, puisque g(0)=0, avoir c=0
Et puisque g'(0)=0, on a aussi b=0
De même pour que g''(0) , on aurait forcément a=0
Donc f=g !!
Donc on a montré l'unicité de a,b,c et g. Cela nous permet-il bien de conclure ?
Merci !

[janor]

Et, en montrant ainsi que R_2[x] et G_2 sont supplémentaires, nous n'avons donc pas besoin, au préalable, de montrer qu'ils sont en somme directe : on fait d'une pierre deux coups.
Ou bien est ce que je me trompe ?

[L.A.]

Il faut, puisque g(0)=0, avoir c=0

Non : g(0) = f(0) - 0 - 0 - c = f(0) - c mais f(0) n'est pas égal à 0 a priori.

Tu repars sur la preuve de R_2[x] inter G_2 = {0}, alors qu'ici f n'est pas dans G_2 mais dans E.

[janor]

Ah !! Il faut que f(0)=c ; f'(0)=b ; f''(0)=2a !!

[L.A.]

Ah !! Il faut que f(0)=c ; f'(0)=b ; f''(0)=2a !!

Oui, maintenant tu peux conclure :
Soit f dans E, on pose p(x) = ... puis g(x) = ...
alors p est dans R_2[x] et g est dans G_2, et f = g+p donc ...

[janor]

Donc R_2[x] ⊕ G_2=E : R_2[x] et G_2 sont supplémentaires dans E.
Merci pour vos réponses!