Sous espaces propres

[ludovic44]

Bonjour,

Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E ayant comme valeurs propres. Soient les espaces propres associés.


Soit E1, ..., Ep des sous espaces vectoriels de E. Une propriété affirme que E est somme directe des Ei si, et seulement si:
- E=E1+...+Ep
- dimE=dimE1+...+dimEp

Pourtant, dans le cadre des espaces propres, il suffit de montrer que dimdimdimE pour conclure que E est somme direct des sous espaces propres.

Je ne vois pas l'argument qui permet de se passer de la première condition.

Merci pour votre aide !

Ludovic

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Parce qu'on sait que les sous-espaces propres sont toujours en somme directe (autrement dit, que si avec pour , alors pour ).

[ludovic44]

Bonjour, merci pour votre réponse.
Je pense avoir compris la partie "autrement dit":

Puisque les espaces propres sont en somme directe, alors l'écriture est unique (c'est la définition choisie dans le livre que j'utilise).
Or, puisque , alors par unicité de l'écriture, pour tout i.

En revanche, je suis désolé, je n'arrive pas à comprendre en quoi cela montre que l'on peut se passer de la première assertion...

[GaBuZoMeu]

Parce que, comme sont en somme directe, on a .
Et donc si ... je te laisse conclure.

[ludovic44]

Merci Je pense cette fois avoir compris:

est un sous espace vectoriel de E et qui, du coup à la même dimension que E. D'où l'égalité (j'ai en tête la propriété qui affirme qu'un sev de E de même dimension que E est E tout entier).

[GaBuZoMeu]

Voila.

[ludovic44]

Super, merci encore

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.