Sous-espace vectoriel engendré

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur les espaces vectoriel qui commence sérieusement à me prendre la tête (je suis dessus depuis un TRÈS long moment) :

-
Soit

Je dois déterminer le sous-espace vectoriel du R-ev des applications de R dans R engendré par la partie A.

Autrement dit, je dois déterminer

-

Un ami me dit que est en fait l'ensemble des applications de R dans R.

Perso, j'y arrive absolument pas. Etant donné une application réelle, j'essaye vainement d'écrire comme la somme de 2 (voire plus) fonctions éléments de , ce qui me permettrait de montrer ce qu'on m'a dit.

Mais je n'y arrive pas du tout.

Si quelqu'un peut m'aider svp.
je vous remercie d'avance

[Ben314]

Salut,

Soit une fonction quelconque (mais fixée...) de R dans R.
On considère les fonctions et de R dans R définie par :
et
où est une fonction de R dans R... à déterminer...
Clairement, donc si et sont dans , tu as fini.
Aprés, le tout c'est de voir si tu peut trouver une fonction telle que (par exemple) et (faut pas prendre le même pour les deux, sinon ça déconne)
Tu regarde ce que ça signifie pour et tu vas voir qu'il n'y a aucun soucis.

[Doraki]

Quand tu choisis ;)1 et ;)2 distincts et que tu cherches une décomposition f = g1 + g2 où gi(0) = gi(;)i),
tu dois résoudre un système de 5 équations à 6 inconnues pour trouver des valeurs de gi(0) et gi(;)j) qui marchent.
Il ne devrait y avoir aucun mal à y trouver une infinité de solutions.

[jonses]

Merci beaucoup pour votre aide !

C'est vrai que je suis resté bloqué sur cet exercice sans aucune raison... mais pour autant je ne me décourage pas (j'essaye d'être un petit peu optimiste).

Finalement j'ai fait en suivant les conseils de Ben :

En me donnant une fonction réelle quelconque, j'ai posé la fonction réelle h définie par :





et pour tout réelle différent de 1 et différent de -1

Puis j'ai fait comme Ben, et ça a marché