Sommes harmoniques non entières

[busard_des_roseaux]

Bonjour à tous,

j'ai commencé à calculer les sommes suivantes:




avec
etc..

je conjecture que le résultat n'est jamais entier ...

des idées :id: ?

[Doraki]

Y'a un postulat de bertrand qui dit que pour tout n>1, il y a un nombre premier p entre n et 2n.

[busard_des_roseaux]

Y'a un postulat de bertrand qui dit que pour tout n>1, il y a un nombre premier p entre n et 2n.

pourrais-tu préciser ? je ne vois pas. :doh:

[kazeriahm]

n'importe quel réel est somme d'une telle série :

on prend x positif par exemple.

J'appelle S_n les sommes partielles. On prend e_k=1 jusqu'à ce que S_n>x (ce qui arrive forcément puisque série harmonique diverge). Ensuite on prend e_k=-1 jusqu'à ce que S_n<x. Etc... Comme la série harmonique diverge et que son terme général tend vers 0 on conclut. On fait clairement la même chose si x<0.

[kazeriahm]

enfin peut etre parlais tu aussi des sommes finies ?

[busard_des_roseaux]

n'importe quel réel est somme d'une telle série :

oui, cet ensemble de nombres est dense dans .

enfin peut etre parlais tu des sommes finies ?

oui.

[Doraki]

Le postulat de Bertrand implique que pour tout n, il y a un nombre premier p qui n'apparaît qu'une seule fois comme facteur d'un entier entre 1 et n.

[busard_des_roseaux]

Le postulat de Bertrand implique que pour tout n, il y a un nombre premier p qui n'apparaît qu'une seule fois comme facteur d'un entier entre 1 et n.

il y a un lien avec les nombres harmoniques ?

[Doraki]

Pour prouver qu'ils sont pas entiers, oui.

[Pythales]

Preuve que n'est pas entier :
Soit tel que
On a
Soit le PPCM de tous les dénominateurs, sauf . Il est divisible par mais pas par
De ce fait
Donc n'est pas entier, ainsi que
q.e.d.