Aide pour probleme avec DP,fct harmoniques etc..

[Azuriel]

Bonsoir.
Alors voilà, mon prof de math a donner un DM facultatif en cette fin de 1er année de prepa, j'ai commencé a m'y interesser et j'aimerais le finir pour lui rendre et avoir la correction. Mais j'ai besoin d'aide pour certaines partie et j'aimerais que vous m'aidiez a repondre à ces problèmes.

Pour que vous ayez une vue d'ensemble je vous explique un peu le probleme et m'arreterais sur les points où j'en suis, ceux qui me posent probleme.

Tout d'abord on definit ce qu'est une fonction harmonique : c'est une fct defini dans un ouvert de R², 2 fois continument derivable, et tel que son laplacien ( où Laplacef = d²f/dx² + d²f/dy²) est égale à 0 donc :

d²f(x,y)/dx² + d²f(x,y)/dy²=0

Le but du probleme est de donner des exemples de ce type de fonctions et de determiner certaines de leur propriétés : principe du maximun, propriété de la moyenn etc.
On me rapelle qu'une fonction à valeur réell continue sur une partie FERME et borné de R² est borné et atteint ses bornes. (en gros analogue dans R² d'une fct continue sur un segment).

Rq : C'est je crois un sujet tombé au mines de paris 1991. (Si jamais il y a des candidats de cette année lol).

Alors dans une premiere partie on me fait etudier quelque exemple de fonctions harmoniques puis on me demande de trouver des fonctions réelle (à une variable) tq : h(x,y)=u(racine(x²+y²)) et les fct v tel que k(x,y)=v(y/x) (et c'est sur des restrictions tel que ça pose pas de probleme de definitions) et cela pour h et k soient harmoniques.

J'ai repondu a cette question et je pense que c'est bon meme si pour v(y/x) (pour celle là je suis arrivé a une equa diff, si vous non pas du tout c'est que j'ai faux donc signaler moi) je n'ai pas verifier en la derivant car la fonction étaient compliqué et donc ça me soulé un peu lol.

On arrive donc ensuite a une 2eme partie où l'on va utiliser le principe du maximum pour les fonctions harmoniques :
On considere pour cela f harmonique definie sur tout R². Et D=D(0,r) (r>0)
et C=C(0,r) donc D={(x,y)/ x²+y²0, on definie Fp definie dans R² par :

Fp(x,y) = f(x,y) + (x²+y²)/p

On me demande tout d'abord de prouver l'existence d'un point Mp(ap,bp) appartenant au disque FERME D en lequel Fp atteint son max, donc en utilisant le fait qu'on avait Fp continue par combinaisons et le theoreme rapeler dans l'énoncé c'est trivial.

ARRIVE MAINTENANT LE 1er PROBLEMES ET QUESTIONS :

On me demande de demontrer que si Mp appartient à l'interieur du disque D, les 2 derivées seconde de Fp (dx² et dy²) sont en ce point negatives ou nulles : d²f(ap,bp)/dx² Fp(x,bp) et v : y->Fp(ap,y).

Alors j'ai fait quelque chose mais je me demande si c'est bon, j'ai dit :

Fp(ap+h,bp)=Fp(ap,bp) + hdf(ap,bp)/dx +h²/2 d²f(ap,bp)dx² + o(h)

or j'ai dit que necessairement au max M df/dx =0 et donc on avait :

Fp(ap+h,bp)- Fp(ap,bp) = h²/2d²f(ap,bp)/dx²

or Vh Fp(ap+h,bp)- Fp(ap,bp)<=0 car M est un max et donc j'en conclut que d²f/dx²<=0 . Est ce que cette demo peut marcher ?

En attendant vos reponses avant d'avancé avec vous sur d'eventuelle autre questions.

MERCI ENORMEMENT DE M'AVOIR LU JUSQU'AU BOUT pour un fin de compte pour l'instant une pas tres grande question.

[emdro]

Fp(ap+h,bp)=Fp(ap,bp) + hdf(ap,bp)/dx +h²/2 d²f(ap,bp)dx² + o(h)

or j'ai dit que necessairement au max M df/dx =0 et donc on avait :

Fp(ap+h,bp)- Fp(ap,bp) = h²/2d²f(ap,bp)/dx²

Bonjour,

Ce n'est pas o(h²)?
qu'en fais-tu à la dernière ligne ?

[Azuriel]

Oui c'est o(h²) excuse moi. A la derniere ligne je fais tendre h vers 0 donc je le negligle, de toute je dis que pour tout h proche de 0 on a l"inégalité, donc celle ci reste vrai quand on s'approche a linfini de 0 et donc ceci est vrai pour la double DP de M..Ce n'est pas bon ?

[emdro]

Ce n'est pas si simple:
Partons de l'écriture
F(a+h)=F(a)+0+h²/2F''(a)+o(h²)

En d'autres termes, c'est
F(a+h)-F(a)=h²/2*[F''(a)+epsilon(h)]

Lorsque h tend vers 0, les deux membres tendent vers 0.
Celui de gauche est négatif dans notre cas.
Si F''(a) n'est pas nul, à partir d'un moment, F''(a)+epsilon(h) aura le signe de F''(a). On prouve ainsi que F''(a) ne peut être strictement positif.

Je crois que cela mérite une explication: dans mon souvenir, il y a des démonstrations où on a des surprises . Par exemple ici, si F''(a) était nul, le epsilon(h) qui tend vers 0 et qu'on a tendence à négliger donnerait son signe à l'expression.

[Azuriel]

Donc maintenant ça marche cr si F'' n'est pas nul c'est bon, et si il est nulle (et donc avec le risque que ce soit le o(h²) qui donne le signe) c'est pas grave car on aura prouver qu'il est nul.

Donc F''<0 ou F''=0 implique que dans tout les cas F''<=0 , non ?

[emdro]

Oui! :happy2: :happy2:

[Azuriel]

Donc je fais la meme chose avec la DP2nd par rapport a y et j'ai donc mes 2 DP d'ordre 2 (lune selon x et lautre selon y) qui sont inferieur ou égale à 0 au point Mp (max de Fp) si celui ci appartient à l'INTERIEUR du disque.

Mais il faut que j'en deduise en calculant le laplacien par exemple de Fp, que Mp est situé sur le cercle C en fait...

Or le laplacien de Fp je trouve qu'il est égal à 4/p et je n'arrive pas vraiment a conclure...

[emdro]

Le laplacien, c'est la somme des deux dérivées secondes, qui sont négatives au maximum -si celui est à l'intérieur du disque-, tu viens de le démontrer; d'autre part, tu trouves que le laplacien est positif. Donc...

[Azuriel]

Oui donc c'est impossible c'est ce que j'en avais conclu mais de là a dire qu'il est donc necessairement sur le cercle..euh i en fait c'est bon vu qu'il ny a pas d'autre possibilité alors qu'il existe bel et bien lol. Oui un peu bete sur le coup, donc j'ai le droit d'en conclure qu'il ne peut alors que etre sur le cercle. Merci.